Seja
um espaço vetorial, defina e explique as propriedades de um subespaço
.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é um subespaço de um espaço vetorial
e explicarmos suas propriedades fundamentais. Vamos usar os conceitos de estrutura de espaço vetorial, fechamento sob operações internas e consequentes propriedades herdadas.
Passo 2
Definição de subespaço: seja
um espaço vetorial sobre um corpo
. Dizemos que
é um subespaço de
se, usando as mesmas operações de adição e multiplicação escalar de
, o conjunto
também forma um espaço vetorial sobre
.
Uma forma prática de verificar isso é checar dois requisitos (supondo ):
1. Sejam . Então
(fechamento sob adição).
2. Seja e
. Então
(fechamento sob multiplicação escalar).
Uma forma prática de verificar isso é checar dois requisitos (supondo
1. Sejam
2. Seja
Passo 3
Explicação dos requisitos:
1. Fechamento sob adição garante que a soma de quaisquer dois vetores de permaneça em
. Isso é necessário para que
herde a propriedade de grupo abeliano em relação à adição.
2. Fechamento sob multiplicação escalar assegura que qualquer escala de um vetor de ainda pertença a
, mantendo a compatibilidade com o corpo
.
Como consequência desses dois pontos e do fato de ser não vazio, automaticamente
contém o vetor nulo de
e os inversos aditivos de seus elementos, completando os axiomas de espaço vetorial.
1. Fechamento sob adição garante que a soma de quaisquer dois vetores de
2. Fechamento sob multiplicação escalar assegura que qualquer escala de um vetor de
Como consequência desses dois pontos e do fato de
Passo 4
Propriedades adicionais de qualquer subespaço
:
1. O vetor nulo de , denotado
, pertence a
.
2. Se então seu inverso aditivo
também está em
.
3. Se e
, então
1. O vetor nulo de
2. Se
3. Se
isto é,
é fechado sob combinações lineares.
4. A interseção de quaisquer subespaços de é novamente um subespaço de
, e existem sempre os subespaços trivial
e
próprio.
4. A interseção de quaisquer subespaços de
Resposta
Um conjunto
Dessas condições seguem o pertencimento de , o fechamento sob inversos aditivos e sob combinações lineares, bem como a existência dos subespaços trivial e total.