Seja E um espaço vetorial, defina e explique as propriedades de um subespaço F subset E.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é um subespaço de um espaço vetorial E e explicarmos suas propriedades fundamentais. Vamos usar os conceitos de estrutura de espaço vetorial, fechamento sob operações internas e consequentes propriedades herdadas.

Passo 2

Definição de subespaço: seja E um espaço vetorial sobre um corpo K. Dizemos que Fsubset E é um subespaço de E se, usando as mesmas operações de adição e multiplicação escalar de E, o conjunto F também forma um espaço vetorial sobre K.
Uma forma prática de verificar isso é checar dois requisitos (supondo Fneqvarnothing):
1. Sejam u,vin F. Então u+vin F (fechamento sob adição).
2. Seja alphainK e uin F. Então alpha,uin F (fechamento sob multiplicação escalar).

Passo 3

Explicação dos requisitos:
1. Fechamento sob adição garante que a soma de quaisquer dois vetores de F permaneça em F. Isso é necessário para que F herde a propriedade de grupo abeliano em relação à adição.
2. Fechamento sob multiplicação escalar assegura que qualquer escala de um vetor de F ainda pertença a F, mantendo a compatibilidade com o corpo K.
Como consequência desses dois pontos e do fato de F ser não vazio, automaticamente F contém o vetor nulo de E e os inversos aditivos de seus elementos, completando os axiomas de espaço vetorial.

Passo 4

Propriedades adicionais de qualquer subespaço Fsubset E:
1. O vetor nulo de E, denotado 0E, pertence a F.
2. Se uin F então seu inverso aditivo -u também está em F.
3. Se u1,dots,ukin F e alpha1,dots,alphakinK, então
alpha1u1 + cdots + alphakuk in F
isto é, F é fechado sob combinações lineares.
4. A interseção de quaisquer subespaços de E é novamente um subespaço de E, e existem sempre os subespaços trivial 0E e E próprio.

Resposta

Um conjunto
Dessas condições seguem o pertencimento de , o fechamento sob inversos aditivos e sob combinações lineares, bem como a existência dos subespaços trivial e total.

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