Dados P(1,-4,5), s:(x, y, z)=(-1,0,1)+t(7,-3,5) ; t in R e alpha: x-y+z-10=0, determine, justificando:
uma equação da reta m que satisfaz às três condições:
(i) d(P, m)=0
(ii) d(m, s)=0
(iii) d(m, alpha)=d(P, alpha)

Passo 1

O enunciado fornece o ponto P(1,-4,5), a reta s com equação paramétrica
(x,y,z)=(-1,0,1)+t(7,-3,5)
e o plano
alpha: x - y + z - 10 = 0
Queremos achar a reta m que satisfaz
(i) d(P,m)=0,
(ii) d(m,s)=0 e
(iii) d(m,alpha)=d(P,alpha).
Para resolver, usaremos interpretações geométricas de distância ponto–reta, distância entre retas e distância reta–plano.

Passo 2

A condição (i) implica Pin m. A condição (ii) significa d(m,s)=0, logo m e s ou são paralelas ou se intersectam. Como Pnotin s, m deve intersectar s. Portanto existe Qin s tal que m é a reta que passa por P e por Q. Escrevemos
Q = (-1,0,1) + t,(7,-3,5), m: (x,y,z) = P + lambda,(Q-P)

Passo 3

A condição (iii) pede d(m,alpha)=d(P,alpha). Primeiro calculemos
d(P,alpha) = l|1 -(-4) +5 -10r|raiz1^2+(-1)^2+1^2 = 0raiz3 = 0
Como a distância reta–plano só é nula se a reta for paralela (ou contida) no plano, o vetor diretor v=Q-P deve satisfazer
vcdot n = 0,
onde n=(1,-1,1) é a normal de alpha.

Passo 4

Escrevendo
Q=l(-1+7t,,-3t,,1+5tr), v=Q-P=l(7t-2,,-3t+4,,5t-4r),
impondo
vcdot n = (7t-2) -(-3t+4) + (5t-4) = 0
obtém-se
15t - 10 = 0 Longrightarrow t = tfrac23
Então
Q=l(tfrac113,-2,tfrac133r), v=l(tfrac83,2,-tfrac23r),
que simplifica para v=(4,3,-1). Assim a reta m é
m: (x,y,z) = (1,-4,5) + lambda,(4,3,-1), lambdain R

Resposta

m: (x,y,z) = (1,-4,5) + lambda,(4,3,-1)

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