Determine, em cada caso, se os vetores são LIs ou LDs, nos respectivos espaços:
f, g, h in F(R, R) sendo f(x)=x, g(x)=x^2 e h(x)=e^x;

Passo 1

O enunciado apresenta as funções
f(x)=x, g(x)=x^2, h(x)=e^x
no espaço vetorial F(R,R). O conteúdo é independência linear de vetores (aqui, funções), usando definição de combinação linear que resulte na função nula.

Passo 2

Recordando a definição: as funções f,g,h são linearmente independentes se, da igualdade
a,f(x)+b,g(x)+c,h(x)=0para todo xinR,
decorrermos que a=b=c=0. Caso contrário são linearmente dependentes.

Passo 3

Formamos a combinação
a,x + b,x^2 + c,e^x = 0,forall xinR
Se cneq0, o termo c,e^x cresce exponencialmente e não pode ser cancelado por nenhum polinômio a,x + b,x^2. Logo c=0.

Passo 4

Com c=0, sobra
a,x + b,x^2=0forall x
Mas um polinômio de grau até 2 que é identicamente zero tem todos os coeficientes nulos, logo a=0 e b=0.

Resposta

As funções f(x)=x, g(x)=x^2 e h(x)=e^x são linearmente independentes em F(R,R).

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