Dados P(1,-4,5), s:(x, y, z)=(1,0,1)+t(2,1,-1) ; t in R e alpha: x-3 y+z-8=0, determine, justificando:
d(P, s);

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(1,-4,5) e a reta
s:;(x,y,z)=(1,0,1)+t,(2,1,-1), tinR,
e pede a distância de P a s. O conteúdo é distância ponto–reta em R^3, que usa produto vetorial e norma:
d(P,s)=|APtimesv||v|,
onde A=(1,0,1) é um ponto da reta e v=(2,1,-1) seu vetor diretor.

Passo 2

Calcular o vetor AP de A a P:
AP=P-A=(1-1,,-4-0,;5-1)=(0,-4,4)

Passo 3

Fazer o produto vetorial APtimesv:
APtimesv = i & j & k 0 & -4 & 4 2 & 1 & -1 =l(0cdot(-1)-4cdot1,;-l(0cdot(-1)-4cdot2r),;0cdot1-(-4)cdot2r) =(0,8,8)

Passo 4

Calcular as normas:
|APtimesv| =raiz0^2+8^2+8^2 =8raiz2, |v| =raiz2^2+1^2+(-1)^2 =raiz6
Logo a distância é
d(P,s) =8raiz2raiz6 =8raiz3 =8raiz33

Resposta

d(P,s)=8raiz33

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