Sejam U=(x, y, z, t) mid y+z+t=0 e W=span(1,-1,0,0),(0,0,2,1) subespaços de R^4. Encontre uma base e a dimensão de U e W.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão de dois subespaços de R^4:
U=(x,y,z,t)mid y+z+t=0 e W=span(1,-1,0,0),(0,0,2,1).
O conteúdo é estudo de subespaços, parametrização por equações lineares e verificação de independência linear.

Passo 2

Para U, temos a condição
y+z+t=0
ou seja
y=-,z - t
Logo um vetor genérico de U pode ser escrito como
(x,y,z,t) =(x,,-z-t,,z,,t) = x,(1,0,0,0)+z,(0,-1,1,0)+t,(0,-1,0,1)
Como os vetores
(1,0,0,0), (0,-1,1,0) e (0,-1,0,1) são claramente linearmente independentes, eles formam uma base de U.
Daí
dim(U)=3

Passo 3

Para W, já temos
W=spanu1,u2, u1=(1,-1,0,0),;u2=(0,0,2,1)
Verificamos a independência: se
a,u1 + b,u2 = (0,0,0,0),
então pela coordenada 1 vem a=0 e pela 3 vem 2b=0implies b=0.
Logo u1,u2 é uma base de W e
dim(W)=2

Resposta

Uma base de U é (1,0,0,0),(0,-1,1,0),(0,-1,0,1) e dim(U)=3.
Uma base de W é (1,-1,0,0),(0,0,2,1) e dim(W)=2.

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