Se
e
são vetores LIs, mostre que
e
também são LIs.
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores
e
linearmente independentes e pede para mostrar que os vetores
e
também são linearmente independentes. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que gera o vetor zero é a combinação trivial, em que todos os coeficientes são zero.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Expandindo e agrupando termos segundo
, obtemos
Passo 3
Como
são LI, os coeficientes de
,
e
devem ser zero:
Da terceira equação vem
, da segunda
e da primeira
.
Concluímos que a única combinação linear que gera o vetor zero é a trivial . Logo, os vetores são linearmente independentes.
Concluímos que a única combinação linear que gera o vetor zero é a trivial
Resposta
Os vetores
e
são linearmente independentes.