Se u, v e w são vetores LIs, mostre que u, u+v e -u+v+w também são LIs.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores u, v e w linearmente independentes e pede para mostrar que os vetores u,;u+v e -u+v+w também são linearmente independentes. Para isso, vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que gera o vetor zero é a combinação trivial, em que todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,u + beta,(u+v) + gamma,(-u+v+w) = 0
Expandindo e agrupando termos segundo u, v, w, obtemos
alpha,u + beta,u + beta,v - gamma,u + gamma,v + gamma,w = (alpha + beta - gamma),u + (beta + gamma),v + gamma,w = 0

Passo 3

Como u, v, w são LI, os coeficientes de u, v e w devem ser zero:
alpha + beta - gamma = 0, beta + gamma = 0, gamma = 0
Da terceira equação vem gamma=0, da segunda beta=0 e da primeira alpha=0.
Concluímos que a única combinação linear que gera o vetor zero é a trivial alpha=beta=gamma=0. Logo, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u,;u+v e -u+v+w são linearmente independentes.

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