Encontre o determinante da matriz
A=[llll 2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 ]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz quadrada de ordem 4
A= 2 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3
e pede det(A). Para isso vamos usar expansão de Laplace na primeira coluna, pois há dois zeros que facilitam os cálculos.

Passo 2

A fórmula de Laplace na coluna 1 é
det(A) = sumi=1^4 ai1,(-1)^i+1,Mi1,
onde Mi1 é o determinante da matriz obtida ao suprimir a linha i e a coluna 1 de A. Como a31=0 e a41=0, ficam apenas os termos i=1 e i=2:
det(A) = a11,C11 + a21,C21 = 2,(+1),M11 + 1,(-1),M21 = 2,M11 - M21

Passo 3

Calculamos M11 removendo a linha 1 e a coluna 1 de A, obtendo
M11 = det 0 & 1 & 1 2 & 1 & 0 1 & 2 & 3
Para esse 3times3 usamos expansão na primeira linha:
M11 = 0cdotdet1&02&3 -1cdotdet2&01&3 +1cdotdet2&11&2 = -1,(2cdot3-0cdot1)+(2cdot2-1cdot1) = -6+3 = -3

Passo 4

Calculamos M21 removendo a linha 2 e a coluna 1 de A, obtendo
M21 = det 1 & 3 & 1 2 & 1 & 0 1 & 2 & 3
Novamente expansão na primeira linha:
M21 =1cdotdet1&02&3 -3cdotdet2&01&3 +1cdotdet2&11&2 =1,(1cdot3-0cdot2)-3,(2cdot3-0cdot1)+(2cdot2-1cdot1) =3-18+3 =-12

Passo 5

Substituindo em det(A)=2,M11-M21, temos
det(A)=2cdot(-3)-(-12)=-6+12=6

Resposta

det(A)=6

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