Utilize o Algoritmo de Briot-Ruffini em cada um dos itens a seguir.
(a) Considere o polinômio
. Determine as outras duas raízes de
, sabendo-se que 1 é raiz.
(b) Considere o polinômio
. Determine as outras duas raízes de
, sabendo-se que -1 e 3 são raízes.
(a) Considere o polinômio
(b) Considere o polinômio
Passo 1
O enunciado pede para usar o Algoritmo de Briot-Ruffini (divisão sintética) para fatorar dois polinômios e, em seguida, encontrar as raízes restantes. O conteúdo envolve divisão de polinômios por binômio linear
e solução de equações quadráticas.
Passo 2
Para (a), temos
e sabemos que
é raiz. Aplicando Briot-Ruffini com coeficientes
e
:
O quociente é
.
Passo 3
Resolvendo
, usamos
, logo
Portanto, as outras duas raízes em (a) são
(com multiplicidade 2).
Passo 4
Para (b),
e uma raiz é
. Aplicando Briot-Ruffini com
e
:
(Houve um erro: o resto não é zero. Corrigindo o somatório: após multiplicar
e somar a
obtemos
, e
somado a
dá
.) O quociente correto é
.
Passo 5
Sabendo que
é outra raiz, aplicamos Briot-Ruffini ao quociente
com
:
O novo quociente é
.
Passo 6
Resolvendo
, temos
,
Assim, as outras duas raízes em (b) são
e
.
Resposta
(a) As raízes restantes são
e
.
(b) As raízes restantes são e
.
(b) As raízes restantes são