Utilize o Algoritmo de Briot-Ruffini em cada um dos itens a seguir.
(a) Considere o polinômio m(x)=x^3-5 x^2+8 x-4 in R[x]. Determine as outras duas raízes de m(x), sabendo-se que 1 é raiz.
(b) Considere o polinômio m(x)=x^4-5 x^2-10 x-6 in C[x]. Determine as outras duas raízes de m(x), sabendo-se que -1 e 3 são raízes.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Algoritmo de Briot-Ruffini (divisão sintética) para fatorar dois polinômios e, em seguida, encontrar as raízes restantes. O conteúdo envolve divisão de polinômios por binômio linear (x - r) e solução de equações quadráticas.

Passo 2

Para (a), temos m(x)=x^3-5x^2+8x-4 e sabemos que r=1 é raiz. Aplicando Briot-Ruffini com coeficientes 1,,-5,,8,,-4 e r=1:
c|rrrr 1 & 1 & -5 & 8 & -4hline & & 1 & -4 & 4hline & 1 & -4 & 4 & 0
O quociente é x^2-4x+4.

Passo 3

Resolvendo x^2-4x+4=0, usamos De<a =(-4)^2-4cdot1cdot4=16-16=0, logo
x = 4pmraiz02 = 2
Portanto, as outras duas raízes em (a) são 2 (com multiplicidade 2).

Passo 4

Para (b), m(x)=x^4-5x^2-10x-6 e uma raiz é r=-1. Aplicando Briot-Ruffini com 1,,0,,-5,,-10,,-6 e r=-1:
c|ccccc -1 & 1 & 0 & -5 & -10 & -6hline & & -1 & 1 & -6 & 16hline & 1 & -1 & -4 & -16 & 10
(Houve um erro: o resto não é zero. Corrigindo o somatório: após multiplicar -1cdot(-4)=4 e somar a -10 obtemos -6, e -1cdot(-6)=6 somado a -6 0.) O quociente correto é x^3-x^2-4x-6.

Passo 5

Sabendo que r=3 é outra raiz, aplicamos Briot-Ruffini ao quociente 1,-1,-4,-6 com r=3:
c|cccc 3 & 1 & -1 & -4 & -6hline & & 3 & 6 & 6hline & 1 & 2 & 2 & 0
O novo quociente é x^2+2x+2.

Passo 6

Resolvendo x^2+2x+2=0, temos De<a =2^2-4cdot1cdot2=4-8=-4,
x = -2pmraiz-42 = -1pm i
Assim, as outras duas raízes em (b) são -1+i e -1-i.

Resposta

(a) As raízes restantes são 2 e 2.
(b) As raízes restantes são -1+i e -1-i.

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