Dados A=(0,1,2) e r: X=(1,1,1)+t(1,-1,1), t in R, determine os pontos de r que equidistam raiz14 de A.

Passo 1

O enunciado dá o ponto A=(0,1,2) e a reta
r:;X=(1,1,1)+t,(1,-1,1), tinR,
e pede os pontos de r cuja distância a A é raiz14.
Conteúdo: geometria analítica em R^3, cálculo de distância ponto–ponto via norma de vetor.

Passo 2

Seja X(t) o ponto genérico em r:
X(t) = (1+t,;1-t,;1+t)
O vetor que vai de A a X(t) é
AX(t) = X(t)-A = (1+t-0,;1-t-1,;1+t-2) = (1+t,;-t,;t-1)

Passo 3

A condição de distância raiz14 é
|AX(t)| = raiz14 Long<=ftrightarrow |AX(t)|^2 =14
Calculemos
|AX(t)|^2 = (1+t)^2 + (-t)^2 + (t-1)^2 = (t^2+2t+1) + t^2 + (t^2-2t+1) = 3t^2 + 2

Passo 4

Impondo 3t^2+2=14 resulta
3t^2 =12 Longrightarrow t^2=4 Longrightarrow t = pm 2

Passo 5

Para t=2,
X(2) = (1+2,;1-2,;1+2) = (3,-1,3)
Para t=-2,
X(-2) = (1-2,;1+2,;1-2) = (-1,3,-1)

Resposta

Os pontos de r que estão a uma distância raiz14 de A são
(3,-1,3) e (-1,3,-1)

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