Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) x^2+2 y^2+z^2=1
( )Elipsóide
b) x^2-y^2-z^2=1
( )Hiperbolóide de 1 folha
c) x^2-y^2+z^2=1
( )Hiperbolóide de 2 folhas
d) x^2-y+z^2=0
( )Parabolóide Elíptico

Passo 1

O enunciado pede para identificar cada superfície quádricas pela forma da sua equação. O conteúdo aqui é o estudo da classificação de quadricas a partir do número de sinais positivos e negativos nos termos quadráticos e do grau das variáveis (linear ou quadrático).

Passo 2

Para
x^2 + 2y^2 + z^2 = 1
todos os coeficientes dos termos quadráticos são positivos. Isso caracteriza um elipsóide, pois é a generalização tridimensional de uma elipse com todas as direções fechadas.

Passo 3

Para
x^2 - y^2 - z^2 = 1
temos um coeficiente positivo e dois negativos. Para entender o número de “folhas”, note que se x=0 não há solução real, e as soluções ocorrem para lvert xrvert>=1, gerando duas partes desconexas. Logo trata-se de um hiperbolóide de 2 folhas.

Passo 4

Para
x^2 - y^2 + z^2 = 1
há dois coeficientes positivos e um negativo. Nesse caso a superfície é contínua em torno da origem e apresenta apenas uma “folha” conectada, caracterizando o hiperbolóide de 1 folha.

Passo 5

Para
x^2 - y + z^2 = 0
o termo em y aparece de forma linear, enquanto x e z aparecem quadraticamente com sinal positivo. Isolando y,
y = x^2 + z^2,
vemos um parabolóide elíptico que se abre no sentido positivo de y.

Resposta

Elipsóide: (a)
Hiperbolóide de 1 folha: (c)
Hiperbolóide de 2 folhas: (b)
Parabolóide Elíptico: (d)

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