Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a)
( )Elipsóide
b)
( )Hiperbolóide de 1 folha
c)
( )Hiperbolóide de 2 folhas
d)
( )Parabolóide Elíptico
a)
( )Elipsóide
b)
( )Hiperbolóide de 1 folha
c)
( )Hiperbolóide de 2 folhas
d)
( )Parabolóide Elíptico
Passo 1
O enunciado pede para identificar cada superfície quádricas pela forma da sua equação. O conteúdo aqui é o estudo da classificação de quadricas a partir do número de sinais positivos e negativos nos termos quadráticos e do grau das variáveis (linear ou quadrático).
Passo 2
Para
todos os coeficientes dos termos quadráticos são positivos. Isso caracteriza um elipsóide, pois é a generalização tridimensional de uma elipse com todas as direções fechadas.
Passo 3
Para
temos um coeficiente positivo e dois negativos. Para entender o número de “folhas”, note que se
não há solução real, e as soluções ocorrem para
, gerando duas partes desconexas. Logo trata-se de um hiperbolóide de 2 folhas.
Passo 4
Para
há dois coeficientes positivos e um negativo. Nesse caso a superfície é contínua em torno da origem e apresenta apenas uma “folha” conectada, caracterizando o hiperbolóide de 1 folha.
Passo 5
Para
o termo em
aparece de forma linear, enquanto
e
aparecem quadraticamente com sinal positivo. Isolando
,
vemos um parabolóide elíptico que se abre no sentido positivo de
.
Resposta
Elipsóide: (a)
Hiperbolóide de 1 folha: (c)
Hiperbolóide de 2 folhas: (b)
Parabolóide Elíptico: (d)
Hiperbolóide de 1 folha: (c)
Hiperbolóide de 2 folhas: (b)
Parabolóide Elíptico: (d)