Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) y^2-1=0
b) 9 x^2+4 y^2+36 x-40 y+100=0
( )Parábola
c) 3 y^2+2 x-y=0
( )Duas retas paralelas
d) -x^2+2 y^2+6 x+4 y+9=0
( )Hipérbole
( )Elipse

Passo 1

O enunciado pede que a gente identifique cada equação de segunda-grau (cônica) e associe à sua classificação: parábola, elipse, hipérbole ou duas retas paralelas. Para isso vamos usar a forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
e o discriminante
De<a = B^2 - 4AC,
que nos dá pistas sobre o tipo de cônica, além de observar casos degenerados (como produto de retas).

Passo 2

Analisando os coeficientes A, B e C em cada equação:
a) y^2-1=0
A partir de 0cdot x^2 + 0cdot xy + 1cdot y^2 -1=0, temos
A=0, B=0, C=1.
b) 9x^2 +4y^2 +36x -40y +100=0
Aqui A=9, B=0, C=4.
c) 3y^2 +2x -y=0
Isto é 0cdot x^2 +0cdot xy +3cdot y^2 +2x -y=0, logo
A=0, B=0, C=3.
d) -x^2 +2y^2 +6x +4y +9=0
Temos A=-1, B=0, C=2.

Passo 3

Classificação de (a):
De<a = 0^2 -4cdot0cdot1 = 0.
Além disso, só há y^2 (sem x^2), e a equação é
y^2 = 1 ;Longrightarrow; y=1ou y=-1,
que são duas retas paralelas.

Passo 4

Classificação de (c):
De<a = 0^2 -4cdot0cdot3 = 0.
Apenas um termo quadrático aparece ( y^2), ou seja, é uma parábola (abre em direção ao eixo x).

Passo 5

Classificação de (b) e (d):
b) De<a = 0^2 -4cdot9cdot4 = -144 <0 com A e C ambos positivos Rightarrow elipse.
d) De<a = 0^2 -4cdot(-1)cdot2 = 8 >0 e Acdot C<0 Rightarrow hipérbole.

Resposta

Parábola: c
Duas retas paralelas: a
Hipérbole: d
Elipse: b

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