Dados f e g dois campos escalares definidos em R^3, mostre que dada C uma curva de Jordan,
ointC f(nabla g) cdot d r=-ointC g(nabla f) cdot d r

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois campos escalares, f e g , definidos em R^3 . A questão quer que a gente mostre que, para uma curva de Jordan C , a integral de linha de f(nabla g) ao longo de C é igual ao negativo da integral de linha de g(nabla f) ao longo de C . Ou seja,
ointC f(nabla g) cdot d r = -ointC g(nabla f) cdot d r
Para resolver isso, vamos usar propriedades de integrais de linha e trabalhar com os conceitos de gradiente e campos vetoriais.

Passo 2

Vamos começar relembrando que nabla g e nabla f são os gradientes das funções escalares g e f , respectivamente. O gradiente aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude é a taxa de variação nesse sentido.
A integral de linha ointC F cdot dr representa o trabalho realizado por um campo vetorial F ao longo da curva C .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão f(nabla g) - g(nabla f) . Podemos reescrever isso como:
f nabla g - g nabla f
Queremos mostrar que a integral dessa expressão ao longo de C é zero.

Passo 4

Vamos perceber que f nabla g - g nabla f pode ser interpretado como um campo vetorial. Então, queremos provar que:
ointC (f nabla g - g nabla f) cdot dr = 0
Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha desse campo ao longo da curva que delimita a superfície.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
ointC (f nabla g - g nabla f) cdot dr = integral duplaS nabla times (f nabla g - g nabla f) cdot dS
Onde S é uma superfície cuja fronteira é a curva C .

Passo 6

Vamos calcular o rotacional de f nabla g - g nabla f :
nabla times (f nabla g - g nabla f) = nabla f times nabla g - nabla g times nabla f
Sabemos que o rotacional de um gradiente é sempre zero, ou seja, nabla times (nabla f) = 0 e nabla times (nabla g) = 0 . Além disso, nabla f times nabla g = - nabla g times nabla f , então:
nabla times (f nabla g - g nabla f) = 0

Passo 7

Substituindo de volta na integral de superfície:
integral duplaS nabla times (f nabla g - g nabla f) cdot dS = integral duplaS 0 cdot dS = 0

Passo 8

Portanto, temos que:
ointC (f nabla g - g nabla f) cdot dr = 0
Ou seja,
ointC f(nabla g) cdot d r = ointC g(nabla f) cdot d r

Passo 9

Finalmente, rearranjando a igualdade, obtemos:
ointC f(nabla g) cdot d r = -ointC g(nabla f) cdot d r

Resposta

Mostramos que ointC f(nabla g) cdot d r = -ointC g(nabla f) cdot d r .

Exercícios relacionados