Dados
e
dois campos escalares definidos em
, mostre que dada
uma curva de Jordan,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois campos escalares,
e
, definidos em
. A questão quer que a gente mostre que, para uma curva de Jordan
, a integral de linha de
ao longo de
é igual ao negativo da integral de linha de
ao longo de
. Ou seja,
Para resolver isso, vamos usar propriedades de integrais de linha e trabalhar com os conceitos de gradiente e campos vetoriais.
Passo 2
Vamos começar relembrando que
e
são os gradientes das funções escalares
e
, respectivamente. O gradiente aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude é a taxa de variação nesse sentido.
A integral de linha
representa o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo da curva
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão
. Podemos reescrever isso como:
Queremos mostrar que a integral dessa expressão ao longo de
é zero.
Passo 4
Vamos perceber que
pode ser interpretado como um campo vetorial. Então, queremos provar que:
Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial à integral de linha desse campo ao longo da curva que delimita a superfície.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Onde
é uma superfície cuja fronteira é a curva
.
Passo 6
Vamos calcular o rotacional de
:
Sabemos que o rotacional de um gradiente é sempre zero, ou seja,
e
. Além disso,
, então:
Passo 7
Substituindo de volta na integral de superfície:
Passo 8
Portanto, temos que:
Ou seja,
Passo 9
Finalmente, rearranjando a igualdade, obtemos:
Resposta
Mostramos que
.