Verifique se o campo vetorial
F(x, y)=(x^3-4 x y^2+2,6 x-7 y+x^3 y^3)
é conservativo e, se o for, determine um potencial para F.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=x^3-4xy^2+2,; Q(x,y)=6x-7y+x^3y^3
é conservativo e, em caso afirmativo, determinar um potencial. Como o domínio de F é R^2 (que é simplesmente conexo), basta checar se
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial yl(x^3-4xy^2+2r) =-8xy,
partial Qpartial x =partialpartial xl(6x-7y+x^3y^3r) =6+3x^2y^3

Passo 3

Como em geral
-8xyneq 6+3x^2y^3,
temos partial P/partial yneqpartial Q/partial x. Portanto a condição necessária e suficiente para que F seja conservativo não se verifica.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo e, portanto, não existe potencial escalar para F.

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