Mostre que ointC r cdot d r=0, onde r é o vetor posição e C é uma curva de Jordan.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido aqui. Precisamos mostrar que a integral de linha ointC r cdot dr é igual a zero, onde r é o vetor posição e C é uma curva de Jordan (ou seja, uma curva fechada e sem cruzamentos). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha e propriedades de vetores em curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que representa cada termo na integral. O vetor posição r em coordenadas cartesianas é dado por:
r = x,i + y,j + z,k
O diferencial dr é:
dr = dx,i + dy,j + dz,k
O produto escalar entre r e dr é então:
r cdot dr = x,dx + y,dy + z,dz

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral de linha ao longo da curva C:
ointC r cdot dr = ointC (x,dx + y,dy + z,dz)
Para resolver essa integral, podemos identificar se a expressão x,dx + y,dy + z,dz é exatamente uma derivada total de alguma função.

Passo 4

Observamos que a expressão x,dx + y,dy + z,dz é a derivada de:
f = 12(x^2 + y^2 + z^2)
Calculando o diferencial de f, temos:
df = x,dx + y,dy + z,dz
Portanto, podemos reescrever a integral como:
ointC r cdot dr = ointC df

Passo 5

Agora, usamos uma propriedade importante das integrais de linha: a integral de uma derivada total ao longo de uma curva fechada é igual a zero. Isso ocorre porque, em uma curva fechada, os pontos inicial e final são o mesmo, fazendo com que a diferença de f seja zero.

Resposta

Portanto, ointC r cdot dr = 0.

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