Mostre que
, onde
é o vetor posição e
é uma curva de Jordan.
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido aqui. Precisamos mostrar que a integral de linha
é igual a zero, onde
é o vetor posição e
é uma curva de Jordan (ou seja, uma curva fechada e sem cruzamentos). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha e propriedades de vetores em curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que representa cada termo na integral. O vetor posição
em coordenadas cartesianas é dado por:
O diferencial
é:
O produto escalar entre
e
é então:
Passo 3
Agora, vamos considerar a integral de linha ao longo da curva
:
Para resolver essa integral, podemos identificar se a expressão
é exatamente uma derivada total de alguma função.
Passo 4
Observamos que a expressão
é a derivada de:
Calculando o diferencial de
, temos:
Portanto, podemos reescrever a integral como:
Passo 5
Agora, usamos uma propriedade importante das integrais de linha: a integral de uma derivada total ao longo de uma curva fechada é igual a zero. Isso ocorre porque, em uma curva fechada, os pontos inicial e final são o mesmo, fazendo com que a diferença de
seja zero.
Resposta
Portanto,
.