No seguinte sistema de equações
c 3 x1-5 x2+2 x3+4 x4=0 6 x1-10 x2-4 x3-6 x4=0
é possível definir as variáveis x1 e x2 em função de x3 e x4? Justifique. Discuta a solução desse sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
3x1-5x2+2x3+4x4=0, 6x1-10x2-4x3-6x4=0,
e pergunta se podemos isolar (x1,x2) em função de (x3,x4). O conteúdo é resolução de sistemas lineares e verificação de compatibilidade via posto e determinantes de submatrizes.

Passo 2

Para tentar escrever em termos de olharíamos o sub– sistema
O determinante da matriz dos coeficientes de é
ou seja, essa submatriz é singular. Logo não há solução única para dados arbitrários.

Passo 3

Para ver quando o sistema é compatível, note que a segunda equação é 2 vezes a primeira se e somente se os termos independentes obedecem
4x3+6x4;=;2(-2x3-4x4) ;Longrightarrow;4x3+6x4=-4x3-8x4 ;Longrightarrow;8x3+14x4=0 ;Longrightarrow;4x3+7x4=0
Portanto o sistema só tem solução quando
4x3+7x4=0

Passo 4

Supondo 4x3+7x4=0, as duas equações são equivalentes a
3x1-5x2=-2x3-4x4
Como há duas incógnitas (x1,x2) e uma equação apenas, podemos introduzir um parâmetro livre, por exemplo s=x2 e t=x4. Pela condição de compatibilidade temos x3=-tfrac74t, e da equação acima
3x1=5s-2l(-tfrac74tr)-4t =5s+tfrac72t-4t =5s-tfrac12t,
ou seja
x1=53s-16t, x2=s, x3=-74t, x4=t,
com s,tinR.

Passo 5

Concluímos que:
  • Não é possível definir x1,x2 em função de x3,x4 de forma única, pois o determinante do bloco de coeficientes é zero.
  • O sistema só é compatível se a condição 4x3+7x4=0 for satisfeita.
  • Nessas condições, há infinitas soluções, que dependem de dois parâmetros livres.

Resposta

Não dá para isolar x1,x2 para todo (x3,x4) porque a submatriz de coeficientes de (x1,x2) é singular ( det=0). O sistema é compatível só quando
4x3+7x4=0,
e nesse caso há infinitas soluções que podem ser parametrizadas, por exemplo, por
x1=53s-16t, x2=s, x3=-74t, x4=t, s,tinR

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