é possível definir as variáveis x1 e x2 em função de x3 e x4? Justifique. Discuta a solução desse sistema.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
3x1-5x2+2x3+4x4=0, 6x1-10x2-4x3-6x4=0,
e pergunta se podemos isolar (x1,x2) em função de (x3,x4). O conteúdo é resolução de sistemas lineares e verificação de compatibilidade via posto e determinantes de submatrizes.
Passo 2
Para tentar escrever em termos de olharíamos o sub– sistema
O determinante da matriz dos coeficientes de é
ou seja, essa submatriz é singular. Logo não há solução única para dados arbitrários.
Passo 3
Para ver quando o sistema é compatível, note que a segunda equação é 2 vezes a primeira se e somente se os termos independentes obedecem
Supondo 4x3+7x4=0, as duas equações são equivalentes a
3x1-5x2=-2x3-4x4
Como há duas incógnitas (x1,x2) e uma equação apenas, podemos introduzir um parâmetro livre, por exemplo s=x2 e t=x4. Pela condição de compatibilidade temos x3=-tfrac74t, e da equação acima