Determine uma base e a dimensão do espaço-solução do sistema linear homogêneo:
c x-y-z-t=0 3 x-y+2 z-4 t=0 2 y+5 z+t=0

Passo 1

O sistema homogêneo
x - y - z - t = 0, 3x - y + 2z - 4t = 0, 2y + 5z + t = 0
tem quatro incógnitas (x,y,z,t) e três equações lineares. Vamos montar a matriz aumentada e usar eliminação de Gauss para encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada l[Amid 0r]:
[cccc|c 1 & -1 & -1 & -1 & 0 3 & -1 & 2 & -4 & 0 0 & 2 & 5 & 1 & 0 ]
Eliminamos o x da segunda linha fazendo L2 L2 - 3L1:
[cccc|c 1 & -1 & -1 & -1 & 0 0 & 2 & 5 & -1 & 0 0 & 2 & 5 & 1 & 0 ]
Em seguida, eliminamos a segunda linha da terceira pela operação L3 L3 - L2:
[cccc|c 1 & -1 & -1 & -1 & 0 0 & 2 & 5 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 ]

Passo 3

Da última linha obtemos
2,t = 0 Longrightarrow t = 0
Da segunda linha:
2,y + 5,z -1cdot t = 0 Longrightarrow 2y + 5z = 0 Longrightarrow y = -tfrac52z
Finalmente, da primeira linha:
x - y - z - t = 0 Longrightarrow x = y + z + t = -tfrac52z + z + 0 = -tfrac32z

Passo 4

Tomando z como parâmetro livre, digamos z = s, temos
(x,y,z,t) = l(-tfrac32 s,,-tfrac52 s,,s,,0r) = sl(-tfrac32,,-tfrac52,,1,,0r)
Para evitar frações, podemos reescrever a mesma reta usando o vetor (-3,-5,2,0), já que
sl(-tfrac32,,-tfrac52,,1,,0r) = s2(-3,-5,2,0)
Logo, uma base do espaço-solução é
(-3,-5,2,0)
e a dimensão desse espaço é 1.

Resposta

A base do espaço-solução pode ser
(-3,-5,2,0),
e sua dimensão é 1.

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