Dados dois espaços vetoriais
sobre
. Definimos
como o conjunto
:
e
munido das operações
Prove que
é espaço vetorial. O espaço
é chamado soma direta externa de V e W.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado dois espaços vetoriais V e W sobre um mesmo corpo F, o conjunto V ⊞ W = {(v,w): v∈V e w∈W} com as operações (v₁,w₁)+(v₂,w₂) = (v₁+v₂, w₁+w₂) e λ·(v,w) = (λv,λw) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial. Vamos usar as propriedades de V e W para provar cada axioma de forma conjunta e aproveitando a estrutura “componente a componente”.
Passo 2
Primeiro checamos que a soma está bem definida e herda fechamento, comutatividade e associatividade de V e W: dado (v₁,w₁),(v₂,w₂) em V⊞W, temos v₁+v₂∈V e w₁+w₂∈W, logo (v₁+v₂,w₁+w₂)∈V⊞W (fechamento). Como em V e W vale v₁+v₂=v₂+v₁ e (u+v)+t = u+(v+t), acontece o mesmo componente a componente em V⊞W.
Passo 3
Depois, mostramos existência de elemento neutro e inverso aditivo: em V existe 0_V e em W existe 0_W. Então (0_V,0_W) é neutro em V⊞W, pois (v,w)+(0_V,0_W)=(v+0_V,w+0_W)=(v,w). Para cada (v,w) definimos o inverso como (−v,−w), já que v+(−v)=0_V e w+(−w)=0_W.
Passo 4
Agora verificamos fechamento e propriedades da multiplicação escalar: para λ∈F e (v,w)∈V⊞W temos λ·v∈V e λ·w∈W, logo λ·(v,w)=(λv,λw)∈V⊞W. A associatividade escalar (λμ)·(v,w)=λ·(μv,μw), a identidade 1·(v,w)=(v,w) e as duas distributividades abaixo seguem componente a componente das propriedades de V e W:
— λ·[(v₁,w₁)+(v₂,w₂)] = (λ(v₁+v₂),λ(w₁+w₂)) = (λv₁+λv₂,λw₁+λw₂) = λ·(v₁,w₁)+λ·(v₂,w₂),
— (λ+μ)·(v,w) = ((λ+μ)v,(λ+μ)w) = (λv+μv,λw+μw) = λ·(v,w)+μ·(v,w).
— λ·[(v₁,w₁)+(v₂,w₂)] = (λ(v₁+v₂),λ(w₁+w₂)) = (λv₁+λv₂,λw₁+λw₂) = λ·(v₁,w₁)+λ·(v₂,w₂),
— (λ+μ)·(v,w) = ((λ+μ)v,(λ+μ)w) = (λv+μv,λw+μw) = λ·(v,w)+μ·(v,w).
Passo 5
Como mostramos fechamento, comutatividade e associatividade da soma, existência de neutro e inverso, fechamento sob escalar, associatividade de escalares, identidade escalar e as duas distributividades, concluímos que V⊞W satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.
Resposta
V⊞W é um espaço vetorial sobre F com as operações definidas.