Determinar o domínio D das funções f: D subset R R abaixo.
f(x)=raiz3 x^2+4 x+2raizx^2+3 x-6-2

Passo 1

Temos a função f(x)=raiz3x^2+4x+2raizx^2+3x-6-2. O objetivo é achar o domínio de uma função que envolve radicais no numerador e no denominador, garantindo que os radicandos sejam não-negativos e que o denominador não zere.

Passo 2

Analisando o numerador: o radicando é 3x^2+4x+2. Como o discriminante dessa expressão é De e o coeficiente de x^2 é positivo, temos 3x^2+4x+2>0 para todo x. Logo, o numerador não impõe restrição.

Passo 3

Analisando o denominador: o radicando de raizx^2+3x-6 deve ser >=0. Resolvendo x^2+3x-6>=0 obtemos as raízes
x=-3pmraiz9+242=-3pmraiz332,,
logo a condição é
x<=-3-raiz332ou x>=-3+raiz332,

Passo 4

Agora garantimos que o denominador não zere:
raizx^2+3x-6-2neq0implies x^2+3x-6=4implies x^2+3x-10=0implies x=-5 ou x=2
Ambos estão nos intervalos acima, então devemos excluí-los.

Passo 5

Fazendo a interseção das condições, o domínio é a união dos intervalos onde x^2+3x-6>=0, menos os pontos x=-5 e x=2.

Resposta

D = (-infty,-5)cup(-5,tfrac-3-raiz332]cup[tfrac-3+raiz332,2)cup(2,infty)

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