Dados dois números inteiros m e n tais que m<n. Será que existe um número irracional entre esses dois números? Em outras palavras, existe um alpha in R-Q tal que m<alpha<n ? Existe somente um número irracional com essa propriedade? Existe mais de um número irracional? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz: “Sejam m e n inteiros com m<n. Mostrar que existe alphainRsetminusQ tal que
m<alpha<n
Em seguida, decidir se há só um ou mais de um número irracional nesse intervalo.”
Conteúdo usado: densidade dos irracionais, propriedades de soma/produto de racionais e irracionais, e o fato de raiz2 ser irracional.

Passo 2

Escolhemos um candidato explícito. Como raiz2 é irracional e
0<raiz22<1,
podemos definir
alpha = m + raiz22
Então alpha>m e, como raiz22<1 e n>= m+1 (porque m e n são inteiros com m<n), vem
alpha = m + raiz22 < m+1 <= n,
logo m<alpha<n.

Passo 3

Provar que alpha é irracional. Temos
raiz22 é irracional (produto de irracional por racional não-nulo). Soma de racional ( m) com irracional é irracional. Logo alphanotinQ.

Passo 4

Mostrar que há mais de um irracional no intervalo. Seja t qualquer número irracional em (0,1) (sabemos que existem infinitos). Defina
alphat = m + t,(n-m)
Como 0<t<1 resulta m<alphat<n. Além disso t irracional e n-m racional não-nulo implicam t,(n-m) irracional, e somando m (racional) continua irracional. Assim cada escolha de t dá um alphat irracional em (m,n). Como há infinitos t, há infinitos alphat.

Resposta

Há sempre pelo menos um número irracional entre m e n; por exemplo
alpha = m + raiz22
satisfaz m<alpha<n. Ademais não é único: existem infinitos irracionais no intervalo (m,n).

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