Dados dois números inteiros
e
tais que
. Será que existe um número irracional entre esses dois números? Em outras palavras, existe um
tal que
? Existe somente um número irracional com essa propriedade? Existe mais de um número irracional? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz: “Sejam
e
inteiros com
. Mostrar que existe
tal que
Em seguida, decidir se há só um ou mais de um número irracional nesse intervalo.”
Conteúdo usado: densidade dos irracionais, propriedades de soma/produto de racionais e irracionais, e o fato de ser irracional.
Conteúdo usado: densidade dos irracionais, propriedades de soma/produto de racionais e irracionais, e o fato de
Passo 2
Escolhemos um candidato explícito. Como
é irracional e
podemos definir
Então
e, como
e
(porque
e
são inteiros com
), vem
logo
.
Passo 3
Provar que
é irracional. Temos
é irracional (produto de irracional por racional não-nulo). Soma de racional (
) com irracional é irracional. Logo
.
Passo 4
Mostrar que há mais de um irracional no intervalo. Seja
qualquer número irracional em
(sabemos que existem infinitos). Defina
Como
resulta
. Além disso
irracional e
racional não-nulo implicam
irracional, e somando
(racional) continua irracional. Assim cada escolha de
dá um
irracional em
. Como há infinitos
, há infinitos
.
Resposta
Há sempre pelo menos um número irracional entre
e
; por exemplo
satisfaz
. Ademais não é único: existem infinitos irracionais no intervalo
.