Dados os seguintes conjuntos:
A=x in R mid x^2-4 x >= 5 B=x in R mid raiz8-x<2
Expressar os conjuntos A e B como intervalos (ou união de intervalos).

Passo 1

O enunciado pede para escrever como intervalos (ou união de intervalos) os conjuntos
A = xinRmid x^2 - 4x >= 5
e
B = xinRmid raiz8 - x<2
O conteúdo necessário é resolver uma inequação quadrática em A e uma inequação envolvendo raiz quadrada em B.

Passo 2

Para o conjunto A, trazemos a inequação para a forma padrão:
x^2 - 4x - 5 >= 0
Em seguida, fatoramos o polinômio:
x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)

Passo 3

Analisamos o sinal do produto (x - 5)(x + 1). Os zeros são x = 5 e x = -1. Pelo teste de sinais:
  • Para x < -1, ambos os fatores (x-5) e (x+1) são negativos, seu produto é positivo.
  • Para -1 < x < 5, os fatores têm sinais opostos, o produto é negativo.
  • Para x > 5, ambos são positivos, o produto é positivo.

Passo 4

Como queremos (x-5)(x+1)>=0, aceitamos as regiões onde o produto é não negativo, incluindo os pontos críticos:
A = (-infty, -1] ;cup; [5, +infty)

Passo 5

Para o conjunto B, primeiro exigimos o domínio da raiz:
8 - x >= 0 Longrightarrow x <= 8
Além disso, impomos a inequação interna:
raiz8 - x < 2 Long<=ftrightarrow 8 - x < 4

Passo 6

Da última inequação 8 - x < 4 segue
-x < -4 Longrightarrow x > 4
Combinamos com x <= 8, obtendo
4 < x <= 8

Resposta

A = (-infty, -1]cup[5,+infty)
B = (4,8]

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