Demonstre que os seguintes números são irracionais:
(raiz35+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(raiz35+1)^2
é um número irracional. O conteúdo principal envolve prova por contradição de que raiz35 é irracional e, em seguida, usar fatos sobre soma e produto envolvendo números racionais e irracionais para concluir que (raiz35+1)^2 também é irracional.

Passo 2

Vamos primeiro provar que raiz35 é irracional. Suponha, por contradição, que raiz35 seja racional. Então existem inteiros p e q sem fator comum (além de pm1) tais que
raiz35 = pq
Elevando ao quadrado,
35 = p^2q^2 Longrightarrow p^2 = 35,q^2
Isso mostra que p^2 é divisível por 35, logo p é divisível por 5 e por 7. Logo existem inteiros p'=p/35 e k tais que
p=35,p'e p^2=(35,p')^2=35,(35,p'^2)
Assim
35,q^2 = p^2 = 35,(35,p'^2) Longrightarrow q^2 = 35,p'^2,
o que implica que q também é divisível por 5 e por 7. Isso contradiz a hipótese de que p e q não tinham fator comum. Portanto raiz35 não pode ser racional; isto é, raiz35 é irracional.

Passo 3

Como raiz35 é irracional, o produto de raiz35 por 2 também é irracional (pois, se 2raiz35 fosse racional, dividiria-se por 2 e veríamos que raiz35 seria racional). Logo 2raiz35 é irracional.

Passo 4

Finalmente, note que
(raiz35+1)^2 = 35 + 2raiz35 +1 = 36 + 2raiz35
Aqui 36 é racional e 2raiz35 é irracional. A soma de um número racional com um número irracional é sempre irracional. Portanto
(raiz35+1)^2
é irracional.

Resposta

O número (raiz35+1)^2 é irracional.

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