Demonstre que os seguintes números são irracionais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um número irracional. O conteúdo principal envolve prova por contradição de que
é irracional e, em seguida, usar fatos sobre soma e produto envolvendo números racionais e irracionais para concluir que
também é irracional.
Passo 2
Vamos primeiro provar que
é irracional. Suponha, por contradição, que
seja racional. Então existem inteiros
e
sem fator comum (além de
) tais que
Elevando ao quadrado,
Isso mostra que
é divisível por 35, logo
é divisível por 5 e por 7. Logo existem inteiros
e
tais que
Assim
o que implica que
também é divisível por 5 e por 7. Isso contradiz a hipótese de que
e
não tinham fator comum. Portanto
não pode ser racional; isto é,
é irracional.
Passo 3
Como
é irracional, o produto de
por
também é irracional (pois, se
fosse racional, dividiria-se por 2 e veríamos que
seria racional). Logo
é irracional.
Passo 4
Finalmente, note que
Aqui
é racional e
é irracional. A soma de um número racional com um número irracional é sempre irracional. Portanto
é irracional.
Resposta
O número
é irracional.