Dados os seguintes conjuntos:
A=x in R mid x^2-4 x >= 5 B=x in R mid raiz8-x<2
Achar A cap B, A cup B, R-A e R-B.

Passo 1

O enunciado define dois subconjuntos de R:
A = xinRmid x^2 - 4x >= 5, B = xinRmid raiz8 - x < 2
Para achar Acap B, Acup B, R-A e R-B, precisamos
  1. resolver a inequação quadrática em A por fatoração,
  2. resolver a inequação com raiz em B usando domínio e equivalência,
  3. em seguida usar as operações de interseção, união e complemento de intervalos.

Passo 2

Resolvendo A:
x^2 - 4x >= 5 ;Long<=ftrightarrow; x^2 - 4x - 5 >= 0 ;Long<=ftrightarrow; (x - 5)(x + 1) >= 0
A parábola abre para cima, então a solução é
A = (-infty, -1] ;cup; [5,infty)

Passo 3

Resolvendo B:
Para raiz8 - x estar definido, precisa 8 - x >= 0, ou seja x <= 8.
Além disso queremos
raiz8 - x < 2 ;Long<=ftrightarrow; 8 - x < 4 ;Long<=ftrightarrow; x > 4
Juntando domínio e desigualdade,
B = (4,,8]

Passo 4

Calculando A cap B:
A = (-infty,-1]cup[5,infty), B = (4,8]
Não há interseção com (-infty,-1]. Com [5,infty) a interseção é
[5,infty);cap;(4,8] ;=;[5,8]

Passo 5

Calculando A cup B:
Acup B = l((-infty,-1]cup[5,infty)r);cup;(4,8] = (-infty,-1];cup;(4,infty)

Passo 6

Calculando R-A:
A = (-infty,-1]cup[5,infty) Longrightarrow R-A = (-1,5)

Passo 7

Calculando R-B:
B = (4,8] Longrightarrow R-B = (-infty,4];cup;(8,infty)

Resposta

A cap B = [5,8]
A cup B = (-infty,-1]cup(4,infty)
R-A = (-1,5)
R-B = (-infty,4]cup(8,infty)

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