Demonstre que os seguintes números são irracionais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o número
é irracional. Vamos usar uma prova por contradição e a propriedade de que toda raiz quadrada de inteiro não-quadrado perfeito é irracional (em particular
é irracional).
Passo 2
Suponha, para chegar a uma contradição, que
é racional.
Passo 3
Então podemos escrever
Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos
Subtraindo
e isolando o termo com
dá
Passo 4
Isolando
vem
Como
é racional e operações de soma, produto e divisão (por número não-zero) preservam racionalidade, isso implica que
seria racional.
Passo 5
Porém
. Se
fosse racional, então
também seria racional. Mas sabemos que
é irracional (pois
não é quadrado perfeito). Isso é a contradição que invalida a suposição de que
era racional.
Resposta
Portanto
é irracional.