Demonstre que os seguintes números são irracionais:
raiz14-raiz12

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número
raiz14-raiz12
é irracional. Vamos usar uma prova por contradição e a propriedade de que toda raiz quadrada de inteiro não-quadrado perfeito é irracional (em particular raiz3 é irracional).

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que
r = raiz14-raiz12
é racional.

Passo 3

Então podemos escrever
raiz14 = r + raiz12
Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos
14 = l(r + raiz12r)^2 = r^2 + 2rraiz12 + 12
Subtraindo 12 e isolando o termo com raiz12
2 = r^2 + 2rraiz12 Longrightarrow 2rraiz12 = 2 - r^2

Passo 4

Isolando raiz12 vem
raiz12 = 2 - r^22r
Como r é racional e operações de soma, produto e divisão (por número não-zero) preservam racionalidade, isso implica que raiz12 seria racional.

Passo 5

Porém raiz12=2raiz3. Se raiz12 fosse racional, então
raiz3 = raiz122
também seria racional. Mas sabemos que raiz3 é irracional (pois 3 não é quadrado perfeito). Isso é a contradição que invalida a suposição de que r era racional.

Resposta

Portanto raiz14-raiz12 é irracional.

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