Fazendo as reformas da casa, uma familia pretende construir duas piscinas retangulares, digamos P1 e P2. Sabemos que a área desejada da piscina P1 é de 20 m^2 e o perímetro desejado da piscina P2 é de 30 m .
Qual será a área máxima utilizada na piscina P2 ?
Em cada caso, quais serão as dimensões das piscinas P1 e P2 ?

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre construir duas piscinas retangulares, a P1 e a P2. A piscina P1 precisa ter uma área de 20 m^2 e a piscina P2 tem um perímetro de 30 m. A gente precisa descobrir qual é a área máxima que a piscina P2 pode ter e também quais são as dimensões de cada uma das piscinas.

Passo 2

Vamos começar com a piscina P1. A área dela já está definida como 20 m^2. Para encontrar as dimensões dessa piscina, a gente sabe que área de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento pela largura. Então, se chamarmos o comprimento de l e a largura de w, temos:
A = l times w = 20
Como não temos mais informações, as dimensões podem variar, desde que a multiplicação de l e w 20. Porém, a forma mais simples é considerar um retângulo onde o comprimento e a largura sejam iguais, ou seja, um quadrado. Assim, cada lado seria a raiz quadrada de 20.
l = w = raiz20 approx 4,47 m

Passo 3

Agora, vamos para a piscina P2. O perímetro dela é 30 m. O perímetro de um retângulo é dado por:
P = 2(l + w) = 30
Dividindo os dois lados por 2, temos:
l + w = 15
Então, queremos maximizar a área A = l times w com a condição l + w = 15. Para maximizar a área de um retângulo com perímetro fixo, a melhor forma é quando o retângulo é um quadrado. Então, as dimensões ideais são iguais.
l = w = 152 = 7,5 m
Calculando a área máxima:
A = 7,5 times 7,5 = 56,25 m^2

Resposta

A área máxima da piscina P2 é 56,25 m^2, e as dimensões das piscinas são:
  • Piscina P1: 4,47 m times 4,47 m
  • Piscina P2: 7,5 m times 7,5 m

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