Dados quatro pontos não coplanares A, B, C e D, determine os planos tais que cada um deles seja equidistante dos quatro pontos dados.

Passo 1

Na questão temos quatro pontos não coplanares A, B, C e D e queremos encontrar todos os planos π tais que as distâncias de A, B, C e D até π sejam iguais. O conteúdo que vamos usar é a definição de plano em R³ e a fórmula da distância ponto–plano.

Passo 2

Um plano em R³ pode ser descrito por um vetor normal unitário n e um escalar d na equação
ncdot X + d = 0.
A distância de um ponto P a esse plano é
dist(P,pi)=l|ncdot P + dr|
A condição de equidistância diz
l|ncdot A + dr|=l|ncdot B + dr|=l|ncdot C + dr|=l|ncdot D + dr|

Passo 3

Para remover os valores absolutos, atribuímos sinais varepsilonA,varepsilonB,varepsilonC,varepsilonDin+1,-1 e escrevemos
ncdot Pi + d=varepsiloni,D,
onde D>0 é a distância comum. Subtraindo equações percebemos que se todos varepsiloni forem iguais o único n possível é o vetor nulo, descartado. Sobram apenas configurações com três sinais iguais e um oposto ou duas vezes +1 e duas vezes –1.

Passo 4

No caso de três pontos de um lado e um do outro (por exemplo varepsilonA=varepsilonB=varepsilonC=+1, varepsilonD=-1), o vetor n sai paralelo ao normal ao plano formado por A, B e C. Logo o plano buscado é paralelo à face ABC e está posicionado exatamente no meio da distância entre D e o plano ABC. Fazendo isso para cada escolha de vértice isolado, obtemos 4 planos.

Passo 5

No caso de dois pontos de cada lado (por exemplo varepsilonA=varepsilonB=+1, varepsilonC=varepsilonD=-1), obtemos
npropto (C+D)-(A+B)
e o plano deve passar pelo ponto
M=A+B+C+D4
Existem 3 maneiras de particionar em pares disjuntos (AB|CD, AC|BD, AD|BC), dando 3 planos distintos.

Passo 6

Somando os dois tipos de solução, temos 4 planos do caso “3×1” e 3 planos do caso “2×2”, totalizando 7 planos equidistantes dos quatro pontos.

Resposta

Os sete planos são:
  • Para cada vértice PinA,B,C,D, o plano paralelo à face oposta e que está exatamente a meio caminho entre P e o plano dessa face. Por exemplo, se piBCD tem equação
nBCDcdot X + dBCD=0,
então o plano é
nBCDcdot X + dBCD + tfracnBCDcdot P + dBCD2 = 0
  • Para cada partição em pares i,j e k,l (ou seja, AB|CD, AC|BD e AD|BC), o plano de equação
l((Pk+Pl)-(Pi+Pj)r)cdotl(X - tfracA+B+C+D4r)=0
No total são 4+3=7 planos que satisfazem a condição de equidistância.

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