Dados três pontos não colineares
e
, determine os planos tais que cada um deles seja equidistante dos três pontos dados.
Passo 1
A questão dá três pontos não colineares A, B e C e quer todos os planos P tais que as distâncias de A, B e C a P sejam iguais em valor absoluto. O conteúdo aqui é distância de um ponto a um plano, e vamos precisar da fórmula dessa distância e de como igualar módulos de expressões lineares.
Passo 2
Seja um plano genérico P descrito por n·x + D = 0, onde n é um vetor normal ao plano e D é uma constante. A distância de um ponto X a P é dada por:
Queremos
ou seja
Passo 3
Para igualar estes módulos, há duas situações para cada par de pontos: ou as expressões internas têm o mesmo sinal, ou sinais opostos. Vamos enumerar os casos que levam a famílias de planos.
Passo 4
Caso 1: todas as expressões têm o mesmo sinal. Então
Isso implica
Como A, B, C não são colineares, AB e AC geram o plano ABC, logo n é perpendicular a esse plano. Concluímos que P tem normal paralelo ao de ABC, isto é, P é qualquer plano paralelo ao plano definido por A, B e C.
Passo 5
Caso 2: exatamente um ponto tem sinal oposto aos outros dois. Há três subcasos (cada vértice isolado):
(i) C isolado:
Da primeira igualdade vem
então o plano é paralelo a AB. Da segunda segue
Substituindo em n·x + D = 0 vê-se que o plano passa pelos pontos médio de AC e pelo médio de BC. Portanto é a família de todos os planos que contêm o segmento que liga os pontos médios de AC e BC.
Passo 6
(ii) B isolado: de modo análogo vem
que gera a família de planos contendo o segmento dos pontos médios de AB e BC.
Passo 7
(iii) A isolado:
família de planos contendo o segmento dos pontos médios de AB e AC.
Passo 8
Assim, além dos planos paralelos ao plano ABC, existem três famílias de planos, cada uma passando por um dos três segmentos de pontos médios do triângulo ABC.
Passo 9
Em resumo, há quatro famílias de planos equidistantes de A, B e C:
- Todos os planos paralelos ao plano ABC.
- Todos os planos que contêm o segmento que une os pontos médios de AC e BC.
- Todos os planos que contêm o segmento que une os pontos médios de AB e BC.
- Todos os planos que contêm o segmento que une os pontos médios de AB e AC.
Resposta
O conjunto de todos os planos equidistantes de A, B e C é a união de quatro famílias:
- Planos paralelos ao plano ABC (normais paralelos a (B−A)×(C−A)).
- Planos que contêm o segmento dos pontos médios de AC e BC.
- Planos que contêm o segmento dos pontos médios de AB e BC.
- Planos que contêm o segmento dos pontos médios de AB e AC.