Dados três pontos não colineares A, B e C, determine os planos tais que cada um deles seja equidistante dos três pontos dados.

Passo 1

A questão dá três pontos não colineares A, B e C e quer todos os planos P tais que as distâncias de A, B e C a P sejam iguais em valor absoluto. O conteúdo aqui é distância de um ponto a um plano, e vamos precisar da fórmula dessa distância e de como igualar módulos de expressões lineares.

Passo 2

Seja um plano genérico P descrito por n·x + D = 0, onde n é um vetor normal ao plano e D é uma constante. A distância de um ponto X a P é dada por:
d(X,P) = |ncdot X + D||n|
Queremos
d(A,P) = d(B,P) = d(C,P)
ou seja
|ncdot A + D| = |ncdot B + D| = |ncdot C + D|

Passo 3

Para igualar estes módulos, há duas situações para cada par de pontos: ou as expressões internas têm o mesmo sinal, ou sinais opostos. Vamos enumerar os casos que levam a famílias de planos.

Passo 4

Caso 1: todas as expressões têm o mesmo sinal. Então
ncdot A + D = ncdot B + D = ncdot C + D
Isso implica
ncdot(A - B) = 0 e ncdot(A - C) = 0
Como A, B, C não são colineares, AB e AC geram o plano ABC, logo n é perpendicular a esse plano. Concluímos que P tem normal paralelo ao de ABC, isto é, P é qualquer plano paralelo ao plano definido por A, B e C.

Passo 5

Caso 2: exatamente um ponto tem sinal oposto aos outros dois. Há três subcasos (cada vértice isolado):
(i) C isolado:
ncdot A + D = ncdot B + D, ncdot C + D = - (ncdot A + D)
Da primeira igualdade vem
ncdot(A - B) = 0,
então o plano é paralelo a AB. Da segunda segue
ncdot(A + C) + 2D = 0 ;Rightarrow; D = -ncdot(A + C)2
Substituindo em n·x + D = 0 vê-se que o plano passa pelos pontos médio de AC e pelo médio de BC. Portanto é a família de todos os planos que contêm o segmento que liga os pontos médios de AC e BC.

Passo 6

(ii) B isolado: de modo análogo vem
ncdot(A - C) = 0, D = -ncdot(A + B)2,
que gera a família de planos contendo o segmento dos pontos médios de AB e BC.

Passo 7

(iii) A isolado:
ncdot(B - C) = 0, D = -ncdot(A + B)2,
família de planos contendo o segmento dos pontos médios de AB e AC.

Passo 8

Assim, além dos planos paralelos ao plano ABC, existem três famílias de planos, cada uma passando por um dos três segmentos de pontos médios do triângulo ABC.

Passo 9

Em resumo, há quatro famílias de planos equidistantes de A, B e C:
  1. Todos os planos paralelos ao plano ABC.
  2. Todos os planos que contêm o segmento que une os pontos médios de AC e BC.
  3. Todos os planos que contêm o segmento que une os pontos médios de AB e BC.
  4. Todos os planos que contêm o segmento que une os pontos médios de AB e AC.

Resposta

O conjunto de todos os planos equidistantes de A, B e C é a união de quatro famílias:
  1. Planos paralelos ao plano ABC (normais paralelos a (B−A)×(C−A)).
  2. Planos que contêm o segmento dos pontos médios de AC e BC.
  3. Planos que contêm o segmento dos pontos médios de AB e BC.
  4. Planos que contêm o segmento dos pontos médios de AB e AC.

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