Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespaços vetoriais, V1 e V2 , dentro de R^4 . O que a gente precisa encontrar é uma base para a soma desses dois subespaços, que é V1 + V2 . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como combinação linear, base e soma de subespaços. Vamos passo a passo para entender direitinho como chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a soma de dois subespaços vetoriais. A soma V1 + V2 consiste em todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de V1 com um vetor de V2 . Ou seja,
V1 + V2 = v1 + v2 mid v1 in V1, v2 in V2
Para encontrar uma base para V1 + V2 , vamos juntar todos os vetores geradores de V1 e V2 e verificar se eles são linearmente independentes. Se não forem, a gente remove os vetores redundantes até ficar uma base mínima.
Passo 3
Vamos listar todos os vetores que geram V1 e V2 :
V1 = lang<= 4 0 2 0 , 3 -1 2 -1 rang<=
V2 = lang<= 1 -1 1 -2 , 0 0 0 1 rang<=
Então, unindo todos esses vetores, temos:
4 0 2 0 , 3 -1 2 -1 , 1 -1 1 -2 , 0 0 0 1
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses quatro vetores são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz onde cada coluna é um desses vetores e tentamos encontrar se existe uma combinação linear que resulta no vetor nulo apenas quando todos os coeficientes são zero.
Vamos realizar operações de linha para trazer essa matriz para a forma escalonada e ver quantas colunas têm pivôs (elementos diferentes de zero que lideram as linhas).
Passo 5
Primeiro, vamos simplificar a matriz:
Linha 1: [4 3 1 0] – deixamos como está.
Linha 2: [0 -1 -1 0] – deixamos como está.
Linha 3: [2 2 1 0] – podemos substituir por Linha 3 - (½) * Linha 1:
Agora, temos três linhas não nulas com pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Isso significa que as colunas correspondentes aos pivôs são linearmente independentes.
Passo 9
Como identificamos que as primeiras três colunas são independentes, isso significa que os três primeiros vetores são necessários para formar a base de V1 + V2 . Portanto, podemos concluir que uma base para V1 + V2 é formada pelos vetores: