Dados os dois seguintes subespaços vetoriais de R^4 :
V1=lang<=(l 4 0 2 0 ),(c 3 -1 2 -1 )rang<= V2=lang<=(c 1 -1 1 -2 ),(l 0 0 0 1 )rang<=
encontre uma base de V1+V2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois subespaços vetoriais, V1 e V2 , dentro de R^4 . O que a gente precisa encontrar é uma base para a soma desses dois subespaços, que é V1 + V2 . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como combinação linear, base e soma de subespaços. Vamos passo a passo para entender direitinho como chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a soma de dois subespaços vetoriais. A soma V1 + V2 consiste em todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de V1 com um vetor de V2 . Ou seja,
V1 + V2 = v1 + v2 mid v1 in V1, v2 in V2
Para encontrar uma base para V1 + V2 , vamos juntar todos os vetores geradores de V1 e V2 e verificar se eles são linearmente independentes. Se não forem, a gente remove os vetores redundantes até ficar uma base mínima.

Passo 3

Vamos listar todos os vetores que geram V1 e V2 :
V1 = lang<= 4 0 2 0 , 3 -1 2 -1 rang<=
V2 = lang<= 1 -1 1 -2 , 0 0 0 1 rang<=
Então, unindo todos esses vetores, temos:
4 0 2 0 , 3 -1 2 -1 , 1 -1 1 -2 , 0 0 0 1

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses quatro vetores são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz onde cada coluna é um desses vetores e tentamos encontrar se existe uma combinação linear que resulta no vetor nulo apenas quando todos os coeficientes são zero.
4 & 3 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 2 & 2 & 1 & 0 0 & -1 & -2 & 1
Vamos realizar operações de linha para trazer essa matriz para a forma escalonada e ver quantas colunas têm pivôs (elementos diferentes de zero que lideram as linhas).

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar a matriz:
  1. Linha 1: [4 3 1 0] – deixamos como está.
  2. Linha 2: [0 -1 -1 0] – deixamos como está.
  3. Linha 3: [2 2 1 0] – podemos substituir por Linha 3 - (½) * Linha 1:
[2 - 2, 2 - 1.5, 1 - 0.5, 0 - 0] = [0 0.5 0.5 0]
  1. Linha 4: [0 -1 -2 1] – deixamos como está.
A matriz fica:
4 & 3 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0.5 & 0.5 & 0 0 & -1 & -2 & 1

Passo 6

Continuando com as operações de linha:
  1. Linha 3: [0 0.5 0.5 0] – multiplicamos por 2 para facilitar:
[0 1 1 0]
  1. Agora, temos:
4 & 3 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & -1 & -2 & 1
  1. Linha 3: [0 1 1 0] – somamos Linha 2 e Linha 3:
[0 (-1+1) (-1+1) 0] = [0 0 0 0]
  1. Linha 4: [0 -1 -2 1] – deixamos como está.
A matriz agora é:
4 & 3 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & -2 & 1

Passo 7

Mais uma operação:
  1. Linha 4: [0 -1 -2 1] – somamos Linha 2 e Linha 4:
[0 (-1 + (-1)) (-1 + (-2)) (0 + 1)] = [0 -2 -3 1]
Agora, a matriz fica:
4 & 3 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & -3 & 1
  1. Podemos multiplicar a Linha 2 por -1 para facilitar:
[0 1 1 0]
A matriz atualizada:
4 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & -3 & 1

Passo 8

Agora, vamos utilizar a Linha 2 para eliminar os elementos abaixo dela na coluna 2.
  1. Linha 4: [0 -2 -3 1] – adicionamos 2 vezes a Linha 2:
[0 (-2 + 2*1) (-3 + 2*1) (1 + 2*0)] = [0 0 -1 1]
A matriz fica:
4 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1
  1. Agora, temos três linhas não nulas com pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Isso significa que as colunas correspondentes aos pivôs são linearmente independentes.

Passo 9

Como identificamos que as primeiras três colunas são independentes, isso significa que os três primeiros vetores são necessários para formar a base de V1 + V2 . Portanto, podemos concluir que uma base para V1 + V2 é formada pelos vetores:
4 0 2 0 , 3 -1 2 -1 , 1 -1 1 -2

Resposta

Uma base para V1 + V2 é formada pelos vetores
4 0 2 0 , 3 -1 2 -1 , 1 -1 1 -2

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