Seja
A=(ccc 1 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -4 & 4 )
Encontre uma base de R^3 formada por autovetores de A.

Passo 1

O enunciado pede uma base de R^3 formada por autovetores da matriz
A = 1 & 2 & -1 [6pt] 1 & 0 & 1 [6pt] 2 & -4 & 4
O conteúdo aqui é encontrar valores próprios (autovalores) e, para cada um, seus autovetores. Como A é 3times3, esperamos até três autovalores (contando multiplicidades algébricas) e, se forem lineares independentes, teremos a base pedida.]

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 2 & -1 [3pt] 1 & -lambda & 1 [3pt] 2 & -4 & 4-lambda
Expandindo pela primeira linha, obtemos
det(A-lambda I) = (1-lambda)l(lambda^2 -4lambda +4r) -2l((4-lambda)-2r) -1l(-4 +2lambdar)
Fazendo as contas, as partes extras cancelam, ficando
det(A-lambda I) = (1-lambda),(lambda-2)^2 ]

Passo 3

Das raízes de det(A-lambda I)=0 vêm os autovalores:
lambda1 = 1 (mu<iplicidade 1), lambda2 = 2 (mu<iplicidade 2)

Passo 4

Autovetores para . Resolvemos
Das equações vem e . Da primeira e da segunda . Logo
Um autovetor não nulo é, por exemplo,
]

Passo 5

Autovetores para . Resolvemos
Só há uma equação independente, , i.e.\ . Tomando e livres:
Dessa forma podemos escolher dois autovetores independentes:
]

Resposta

Uma base de R^3 formada por autovetores de A é
,(-1,1,2),;(2,1,0),;(-1,0,1)

Exercícios relacionados