Seja
A=(ccc 1 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -4 & 4 )
Encontre uma matriz diagonalizadora P e uma matriz diagonal D tais que A=PDP^-1.

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização de
A= 1 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -4 & 4 ,
isto é, encontrar uma matriz inversível P e uma diagonal D tais que
A = P,D,P^-1
O método envolve calcular o polinômio característico de A, obter seus autovalores e depois encontrar autovetores associados a cada autovalor.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico chi(lambda)=det(A - lambda I). Temos
A-lambda I = 1-lambda & 2 & -1 1 & -lambda & 1 2 & -4 & 4-lambda
Expandindo pela primeira linha,
chi(lambda) =(1-lambda)det-lambda & 1-4 & 4-lambda -2det1 & 12 & 4-lambda -1det1 & -lambda2 & -4
Calculando cada determinante interno, chega-se a
chi(lambda) =(1-lambda)(lambda-2)^2

Passo 3

Da fatoração chi(lambda)=(1-lambda)(lambda-2)^2 concluímos que os autovalores são
lambda1 = 1(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2 = 2(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Autovetor para . Resolvemos :
Da primeira linha vem . Da segunda vem . Logo um autovetor não nulo é, por exemplo,

Passo 5

Autovetores para . Resolvemos :
Todas as três linhas são proporcionais à primeira, que dá . Tomando e livres, obtemos
como dois autovetores independentes para .

Passo 6

Como temos três autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável. Definimos
P = l[v1;;v2;;v3r] = -1 & 2 & -1 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Verifica-se que det Pneq 0 e então
A = P,D,P^-1

Resposta

P = -1 & 2 & -1 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1
\quad
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2

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