Seja
Encontre uma matriz diagonalizadora
P e uma matriz diagonal
D tais que
A=PDP^-1 .
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização de
isto é, encontrar uma matriz inversível
P e uma diagonal
D tais que
O método envolve calcular o polinômio característico de
A , obter seus autovalores e depois encontrar autovetores associados a cada autovalor.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico
chi(lambda)=det(A - lambda I) . Temos
Expandindo pela primeira linha,
Calculando cada determinante interno, chega-se a
Passo 3
Da fatoração
chi(lambda)=(1-lambda)(lambda-2)^2 concluímos que os autovalores são
Passo 4
Autovetor para
. Resolvemos
:
Da primeira linha vem
. Da segunda vem
. Logo um autovetor não nulo é, por exemplo,
Passo 5
Autovetores para
. Resolvemos
:
Todas as três linhas são proporcionais à primeira, que dá
. Tomando
e
livres, obtemos
como dois autovetores independentes para
.
Passo 6
Como temos três autovetores linearmente independentes,
A é diagonalizável. Definimos
Verifica-se que
det Pneq 0 e então
Resposta
\quad