Dados dois triângulos
e
, mostre que se as medianas do primeiro triângulo são paralelas aos lados do segundo, então as medianas do segundo triângulo são paralelas aos lados do primeiro.
Passo 1
Vamos trabalhar com vetores no plano. Denotemos por
os vetores posição dos vértices
do primeiro triângulo. Sejam
os pontos médios de
. Então as medianas são os segmentos
,
,
.
Passo 2
Pela hipótese, as medianas do primeiro triângulo são paralelas aos lados do segundo, ou seja existem escalares
tais que
Passo 3
Somando as três igualdades do passo anterior, o lado esquerdo dá
logo no lado direito must hold
Substituindo
,
,
,
e coletando coeficientes de , obtém–se o sistema linear
e coletando coeficientes de
cuja única solução não nula é
Passo 4
Agora considere a mediana do segundo triângulo a partir de
. Seja
o ponto médio de
. Então
Como
e
com
,
segue
segue
Mas
logo
Portanto
que é paralelo a
, ou seja
Passo 5
De modo totalmente análogo, fixando o ponto médio de
e o de
, mostra–se que as outras duas medianas do segundo triângulo são paralelas, respectivamente, a
e a
.
Resposta
As medianas de
são paralelas aos lados
,
e
do primeiro triângulo.