Dados dois triângulos A B C e A1 B1 C1, mostre que se as medianas do primeiro triângulo são paralelas aos lados do segundo, então as medianas do segundo triângulo são paralelas aos lados do primeiro.

Passo 1

Vamos trabalhar com vetores no plano. Denotemos por A, B, C os vetores posição dos vértices A,B,C do primeiro triângulo. Sejam
D= B+ C2, E= C+ A2, F= A+ B2
os pontos médios de BC,CA,AB. Então as medianas são os segmentos A D, B E, C F.

Passo 2

Pela hipótese, as medianas do primeiro triângulo são paralelas aos lados do segundo, ou seja existem escalares k,ell,mneq0 tais que
C1- B1 ;=;kl( D- Ar), A1- C1 ;=;elll( E- Br), B1- A1 ;=;ml( F- Cr)

Passo 3

Somando as três igualdades do passo anterior, o lado esquerdo dá
( C1- B1)+( A1- C1)+( B1- A1)=0,
logo no lado direito must hold
k( D- A)+ell( E- B)+m( F- C)=0
Substituindo
D=( B+ C)/2,
E=( C+ A)/2,
F=( A+ B)/2,
e coletando coeficientes de A, B, C, obtém–se o sistema linear
2k=ell+m, 2ell=m+k, 2m=k+ell
cuja única solução não nula é
k=ell=m;

Passo 4

Agora considere a mediana do segundo triângulo a partir de A1. Seja
M1= B1+ C12
o ponto médio de B1C1. Então
M1- A1 =12l[( B1- A1)+( C1- B1)+( B1- A1)r] =12l[2( B1- A1)+( C1- B1)r]
Como B1- A1=m( F- C) e
C1- B1=k( D- A) com k=m,
segue
2( B1- A1)+( C1- B1) =ml[2( F- C)+( D- A)r]
Mas
2( F- C)= A+ B-2 C, D- A= B+ C-2 A2,
logo
2( F- C)+( D- A) =32( B- C)
Portanto
M1- A1 =m2,32( B- C) =3m4,( B- C),
que é paralelo a B- C, ou seja
A1M1;paral<=l;BC

Passo 5

De modo totalmente análogo, fixando o ponto médio de C1A1 e o de A1B1, mostra–se que as outras duas medianas do segundo triângulo são paralelas, respectivamente, a CA e a AB.

Resposta

As medianas de A1B1C1 são paralelas aos lados BC, CA e AB do primeiro triângulo.

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