Escreve a matriz
A=(lll 0 & 1 & 2 3 & 4 & 1 7 & 0 & 1 )
como soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica.

Passo 1

Temos a matriz
A = 0 & 1 & 2 3 & 4 & 1 7 & 0 & 1
e queremos escrevê-la como soma de uma matriz simétrica S e uma antissimétrica K. O conteúdo aqui é a decomposição em partes simétrica e antissimétrica de uma matriz quadrada.

Passo 2

Lembrando a propriedade padrão: para qualquer matriz quadrada real A vale
A = A + A^T2 ;+;A - A^T2,
onde
S = A + A^T2 é simétrica e
K = A - A^T2 é antissimétrica.

Passo 3

Vamos calcular a transposta A^T. Basta trocar linhas por colunas:
A^T = 0 & 3 & 7 1 & 4 & 0 2 & 1 & 1

Passo 4

Agora obtemos a parte simétrica
S = A + A^T2 = 12 0+0 & 1+3 & 2+7 3+1 & 4+4 & 1+0 7+2 & 0+1 & 1+1 = 0 & 2 & 92 2 & 4 & 12 92 & 12 & 1

Passo 5

E a parte antissimétrica
K = A - A^T2 = 12 0-0 & 1-3 & 2-7 3-1 & 4-4 & 1-0 7-2 & 0-1 & 1-1 = 0 & -1 & -52 1 & 0 & 12 52 & -12 & 0

Passo 6

Verifique que S^T = S (simétrica) e K^T = -K (antissimétrica). Além disso, somando S + K voltamos à matriz original A.

Resposta

A = underbrace 0 & 2 & tfrac92 2 & 4 & tfrac12 tfrac92 & tfrac12 & 1 S (simétrica) ;+; underbrace 0 & -1 & -tfrac52 1 & 0 & tfrac12 tfrac52 & -tfrac12 & 0 K (antissimétrica) éé

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