Mostre que o ponto
está sobre a reta
se, e somente se, existe um número real
tal que
onde
O é um ponto qualquer.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o ponto
M pertence à reta
AB se, e somente se, existe
alphainR tal que
onde
O é um ponto qualquer. O conteúdo aqui é combinação afim de vetores e colinearidade de pontos.
Passo 2
Suponha que
M esteja sobre a reta
AB . Por definição de reta, existe um parâmetro
tinR tal que
Passo 3
Escrevendo
OM em função de
OA e
AM , temos
Mas
AB=OB-OA .
Passo 4
Substituindo
AB em
OM obtém-se
Basta então definir
alpha=1-t para escrever
Passo 5
Agora suponha que existe
alphainR tal que
Subtraindo
OA de ambos os lados dá
ou seja
Como
AM é múltiplo escalar de
AB , o ponto
M fica sobre a reta
AB .
Resposta
Mostrou-se que
M está em
AB se, e somente se, existe
alphainR tal que