Mostre que o ponto M está sobre a reta A B se, e somente se, existe um número real alpha tal que
O M=alpha O A+(1-alpha) O B
onde O é um ponto qualquer.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o ponto M pertence à reta AB se, e somente se, existe alphainR tal que
OM=alpha,OA+(1-alpha),OB,
onde O é um ponto qualquer. O conteúdo aqui é combinação afim de vetores e colinearidade de pontos.

Passo 2

Suponha que M esteja sobre a reta AB. Por definição de reta, existe um parâmetro tinR tal que
AM=t,AB

Passo 3

Escrevendo OM em função de OA e AM, temos
OM=OA+AM =OA+t,AB
Mas AB=OB-OA.

Passo 4

Substituindo AB em OM obtém-se
OM =OA+tl(OB-OAr) =(1-t),OA+t,OB
Basta então definir alpha=1-t para escrever
OM =alpha,OA+(1-alpha),OB

Passo 5

Agora suponha que existe alphainR tal que
OM =alpha,OA+(1-alpha),OB
Subtraindo OA de ambos os lados dá
OM-OA =(1-alpha)l(OB-OAr),
ou seja
AM=(1-alpha),AB
Como AM é múltiplo escalar de AB, o ponto M fica sobre a reta AB.

Resposta

Mostrou-se que M está em AB se, e somente se, existe alphainR tal que
OM =alpha,OA+(1-alpha),OB

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