Dados os vetores u=2 i-j+3 k ; v=4 i+5 j+k ; w=3 i-j+m k, calcular:
(a) o produto escalar entre u ev;
(b) o produto vetorial entre u e v;
© o valor de m de modo que u seja ortogonal a w.

Passo 1

Beleza, a questão pede três coisas com vetores em ℝ³:
  • (a) produto escalar entre u e v;
  • (b) produto vetorial entre u e v;
  • © achar o valor de m para que u seja ortogonal a w.
Isso cai em cálculo vetorial:
  • Produto escalar (dot product) envolve multiplicar componente a componente e somar.
  • Produto vetorial (cross product) dá um vetor perpendicular aos dois, calculado via determinante.
  • Ortogonalidade significa dot product zero.

Passo 2

(a) Vamos ao produto escalar.
Se u=(2, –1, 3) e v=(4, 5, 1), a definição é
ucdotv = uxvx + uyvy + uzvz
Substituindo:
ucdotv = 2cdot4 + (-1)cdot5 + 3cdot1 = 8 -5 +3 = 6

Passo 3

(b) Agora o produto vetorial.
Para u×v, montamos o determinante
utimesv = i & j & k 2 & -1 & 3 4 & 5 & 1
Expandindo por cofactores:
  • Componente i: utimesv = -16,i + 10,j + 14,k .
  • Componente j: , mas como é subtraído no meio fica +10.
  • Componente k: .
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Passo 4

© Queremos u ortogonal a w=(3, –1, m), ou seja
ucdotw = 0
Calculando o dot product:
2cdot3 + (-1)cdot(-1) + 3cdot m = 6 +1 +3m = 7 + 3m
Fazendo igual a zero:
7 + 3m = 0 Longrightarrow m = -73

Resposta

(a)
(b)
©

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