Dados os vetores
, calcular:
(a) o produto escalar entre
ev;
(b) o produto vetorial entre
e v;
© o valor de
de modo que
seja ortogonal a w.
(a) o produto escalar entre
(b) o produto vetorial entre
© o valor de
Passo 1
Beleza, a questão pede três coisas com vetores em ℝ³:
- (a) produto escalar entre u e v;
- (b) produto vetorial entre u e v;
- © achar o valor de m para que u seja ortogonal a w.
Isso cai em cálculo vetorial:
- Produto escalar (dot product) envolve multiplicar componente a componente e somar.
- Produto vetorial (cross product) dá um vetor perpendicular aos dois, calculado via determinante.
- Ortogonalidade significa dot product zero.
Passo 2
(a) Vamos ao produto escalar.
Se u=(2, –1, 3) e v=(4, 5, 1), a definição é
Se u=(2, –1, 3) e v=(4, 5, 1), a definição é
Substituindo:
Passo 3
(b) Agora o produto vetorial.
Para u×v, montamos o determinante
Para u×v, montamos o determinante
Expandindo por cofactores:
- Componente i:
.utimesv = -16,i + 10,j + 14,k - Componente j:
, mas como é subtraído no meio fica +10. - Componente k:
.
Logo
Passo 4
© Queremos u ortogonal a w=(3, –1, m), ou seja
Calculando o dot product:
Fazendo igual a zero:
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©