Questão 3. Seja V um espaço vetorial com base beta=v1, v2, v3 e seja T: V V uma transformação linear dada por:
l T(v1)=v2, T(v2)=v3, T(v3)=v1
Faça o que se pede:
(b) Podemos afirmar que T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V de dimensão 3 com base beta=v1,v2,v3 e um operador linear T:Vto V que faz o ciclo
T(v1)=v2, T(v2)=v3, T(v3)=v1
A parte (b) quer saber se T é diagonalizável. Para isso vamos calcular o polinômio característico de T, achar suas raízes e aplicar o critério de diagonalização (precisamos de uma base de autovetores).

Passo 2

Escolhemos a base beta e escrevemos a matriz de T. Como
T(v1)=v2,;T(v2)=v3,;T(v3)=v1,
a coluna 1 (imagem de v1) é 010, a coluna 2 é 001 e a coluna 3 é 100. Logo
[A]beta = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0
O polinômio característico é
chiT(lambda)=detl([A]beta-lambda Ir) =det -lambda & 0 & 1 1 & -lambda & 0 0 & 1 & -lambda =!-l(lambda^3-1r)
mas, até um sinal, o relevante é
chiT(lambda)=lambda^3-1

Passo 3

As raízes de chiT(lambda)=0 são as soluções de lambda^3=1. Então
lambda1=1,lambda2=e^2pi i/3,lambda3=e^4pi i/3
Em qualquer corpo onde lambda^3-1 se fatorize em três raízes distintas (isto é, em que existam as duas raízes complexas não reais), o polinômio característico tem três raízes distintas e o operador é diagonalizável, pois os autovalores são simples.

Passo 4

Conclusão pelo critério de diagonalização:
  • Se V for sobre C (ou sobre qualquer corpo que contenha as raízes primitivas e^2pi i/3 e e^4pi i/3), então chiT se separa em fatores lineares distintos e T é diagonalizável.
  • Se V for sobre R, as únicas raízes reais de lambda^3-1 são lambda=1, as outras duas vêm do fator irreduzível lambda^2+lambda+1. Então chiT não se fatora completamente em R e T não é diagonalizável sobre R.

Resposta

Podemos afirmar que T é diagonalizável apenas sobre um corpo que contenha as raízes complexas de lambda^3=1 (por exemplo C). Sobre R, T não é diagonalizável.

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