Questão 3. Seja um espaço vetorial com base e seja uma transformação linear dada por:
Faça o que se pede:
(b) Podemos afirmar que é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial de dimensão com base e um operador linear que faz o ciclo
A parte (b) quer saber se é diagonalizável. Para isso vamos calcular o polinômio característico de , achar suas raízes e aplicar o critério de diagonalização (precisamos de uma base de autovetores).
Passo 2
Escolhemos a base e escrevemos a matriz de . Como
a coluna (imagem de ) é , a coluna 2 é 001 e a coluna 3 é 100. Logo
As raízes de chiT(lambda)=0 são as soluções de lambda^3=1. Então
lambda1=1,lambda2=e^2pi i/3,lambda3=e^4pi i/3
Em qualquer corpo onde lambda^3-1 se fatorize em três raízes distintas (isto é, em que existam as duas raízes complexas não reais), o polinômio característico tem três raízes distintas e o operador é diagonalizável, pois os autovalores são simples.
Passo 4
Conclusão pelo critério de diagonalização:
Se V for sobre C (ou sobre qualquer corpo que contenha as raízes primitivas e^2pi i/3 e e^4pi i/3), então chiT se separa em fatores lineares distintos e T é diagonalizável.
Se V for sobre R, as únicas raízes reais de lambda^3-1 são lambda=1, as outras duas vêm do fator irreduzível lambda^2+lambda+1. Então chiT não se fatora completamente em R e T não é diagonalizável sobre R.
Resposta
Podemos afirmar que T é diagonalizável apenas sobre um corpo que contenha as raízes complexas de lambda^3=1 (por exemplo C). Sobre R, T não é diagonalizável.