Questão 3. Seja
um espaço vetorial com base
e seja
uma transformação linear dada por:
Faça o que se pede:
(a) Encontre o polinômio minimal de
.
(a) Encontre o polinômio minimal de
Passo 1
O enunciado: em um espaço vetorial
de dimensão 3 com base
, a transformação linear
é definida por
Conteúdo: determinarmos o polinômio minimal de
, ou seja, o monico de menor grau
tal que
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é a identidade em cada vetor da base. De fato,
Logo
, o que equivale a
ou seja,
satisfaz o polinômio
.
Passo 3
O polinômio minimal
deve ser um divisor monico de
. Fatorando,
Passo 4
Verificamos que nenhum dos fatores próprios anula
sozinho:
-
: se então , mas na definição . -
: se então em particular
deveria ser zero; mas é base e não há combinação não trivial que dê zero.
Portanto nenhum dos fatores de grau menor anula
, e o polinômio minimal é o próprio
.
Resposta
O polinômio minimal de
é