Questão 3. Seja V um espaço vetorial com base beta=v1, v2, v3 e seja T: V V uma transformação linear dada por:
l T(v1)=v2, T(v2)=v3, T(v3)=v1
Faça o que se pede:
(a) Encontre o polinômio minimal de T.

Passo 1

O enunciado: em um espaço vetorial V de dimensão 3 com base beta=v1,v2,v3, a transformação linear T é definida por
T(v1)=v2, T(v2)=v3, T(v3)=v1
Conteúdo: determinarmos o polinômio minimal de T, ou seja, o monico de menor grau m(lambda) tal que m(T)=0.

Passo 2

Mostramos primeiro que T^3 é a identidade em cada vetor da base. De fato,
T^3(v1)=T^2(v2)=T(v3)=v1, T^3(v2)=T^2(v3)=T(v1)=v2, T^3(v3)=T^2(v1)=T(v2)=v3
Logo T^3=IdV, o que equivale a
T^3 - I = 0,
ou seja, T satisfaz o polinômio lambda^3-1.

Passo 3

O polinômio minimal m(lambda) deve ser um divisor monico de lambda^3-1. Fatorando,
lambda^3-1=(lambda-1)l(lambda^2+lambda+1r)

Passo 4

Verificamos que nenhum dos fatores próprios anula T sozinho:
  1. lambda-1: se T-I=0 então T(v1)=v1, mas na definição T(v1)=v2neq v1.
  2. lambda^2+lambda+1: se T^2+T+I=0 então em particular
    (T^2+T+I)(v1)=v3+v2+v1 deveria ser zero; mas v1,v2,v3 é base e não há combinação não trivial que dê zero.
Portanto nenhum dos fatores de grau menor anula T, e o polinômio minimal é o próprio lambda^3-1.

Resposta

O polinômio minimal de T é
mT(lambda)=lambda^3-1

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