Dados dois vetores: \vec{A}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k} e \vec{B}=-4 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}, determine o ângulo entre eles.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores
\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}, \quad \vec{B} = -4\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}
e pede o ângulo \theta entre eles. Para isso vamos usar o produto escalar e as normas, pois
\vec{A}\cdot\vec{B} = \|\vec{A}\|\;\|\vec{B}\|\cos\theta.

Passo 2

Calcular o produto escalar
\vec{A}\cdot\vec{B} = (2)(-4) + (3)(2) + (1)(-1) = -8 + 6 - 1 = -3.

Passo 3

Calcular as normas
\|\vec{A}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14}, \qquad \|\vec{B}\| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{21}.

Passo 4

Substituir na fórmula do cosseno
\cos\theta = \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\|\vec{A}\|\,\|\vec{B}\|} = \frac{-3}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}} = -\frac{3}{\sqrt{294}} = -\frac{3}{7\sqrt{6}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(-\frac{3}{7\sqrt{6}}\Bigr).

Passo 5

Calcular numericamente
-\frac{3}{7\sqrt{6}}\approx -0,175,
portanto
\theta \approx \operatorname{arccos}(-0,175)\approx 100{^\circ}.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(-\frac{3}{7\sqrt{6}}\Bigr)\approx 100{^\circ}.

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