[HALLIDAY modificado] Uma partícula está submetida a uma força \vec{F}=\left(F_{0} x / x_{0}+F_{0}\right) N \hat{1}, sendo F_{0} constante. Determine o trabalho realizado pela força \vec{F} ao mover a partícula da posição \overrightarrow{x_{1}}=3 x_{0} m \hat{1} à posição \overrightarrow{x_{2}}=7 x_{0} m \hat{1}. ( \mathbf{2 , 5} pontos)

Passo 1

O enunciado dá uma força unidimensional que depende de x:
\vec{F}(x)=\bigl(F_{0}\,\tfrac{x}{x_{0}}+F_{0}\bigr)\,\hat{1}
e pede o trabalho ao levar a partícula de x_{1}=3\,x_{0} até x_{2}=7\,x_{0}. O conteúdo usado aqui é que, para uma força variável em uma dimensão, o trabalho é
W=\int_{x_{1}}^{x_{2}}F_{x}(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Escrevemos a componente de F ao longo de x e preparamos a integral:
F_{x}(x)=F_{0}\,\frac{x}{x_{0}}+F_{0} \quad\Longrightarrow\quad W=\int_{3x_{0}}^{7x_{0}}\Bigl(F_{0}\,\tfrac{x}{x_{0}}+F_{0}\Bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes lineares:
W =F_{0}\int_{3x_{0}}^{7x_{0}}\frac{x}{x_{0}}\,\mathrm{d}x +F_{0}\int_{3x_{0}}^{7x_{0}}1\,\mathrm{d}x = \frac{F_{0}}{x_{0}}\int_{3x_{0}}^{7x_{0}}x\,\mathrm{d}x +F_{0}\,\bigl[x\bigr]_{3x_{0}}^{7x_{0}}.

Passo 4

Calculamos as primitivas e avaliamos nos limites:
\int x\,\mathrm{d}x=\frac{x^{2}}{2} \quad\text{logo}\quad \frac{F_{0}}{x_{0}}\cdot\frac{x^{2}}{2}+F_{0}\,x
avaliado de 3x_{0} a 7x_{0}:
\Bigl(\frac{F_{0}}{x_{0}}\cdot\frac{(7x_{0})^{2}}{2}+F_{0}\,7x_{0}\Bigr) - \Bigl(\frac{F_{0}}{x_{0}}\cdot\frac{(3x_{0})^{2}}{2}+F_{0}\,3x_{0}\Bigr).

Passo 5

Simplificando cada termo:
\frac{F_{0}}{x_{0}}\cdot\frac{49x_{0}^{2}}{2}+7F_{0}x_{0} =\frac{49}{2}F_{0}x_{0}+7F_{0}x_{0} =\frac{63}{2}F_{0}x_{0},
\frac{F_{0}}{x_{0}}\cdot\frac{9x_{0}^{2}}{2}+3F_{0}x_{0} =\frac{9}{2}F_{0}x_{0}+3F_{0}x_{0} =\frac{15}{2}F_{0}x_{0}.
A diferença fica
W=\Bigl(\tfrac{63}{2}-\tfrac{15}{2}\Bigr)F_{0}x_{0} =\tfrac{48}{2}F_{0}x_{0} =24\,F_{0}\,x_{0}.

Resposta

W=24\,F_{0}\,x_{0} Joules.

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