Dados dois vetores
e
que partem da mesma origem, qual é a interpretação geométrica do vetor diferença
em relação ao paralelogramo formado por eles?
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras:
- Foram fornecidos dois vetores
e que partem da mesma origem. - Pergunta-se qual é a interpretação geométrica do vetor diferença
em relação ao paralelogramo formado por e .
Passo 2
Primeiro conceito básico: subtração de vetores. A definição operacional é
Aqui
é o vetor que tem a mesma magnitude que
mas sentido oposto. Geometricamente isso significa que
é o resultado da soma de
com um vetor de mesmo tamanho de
apontando para o lado contrário.
Passo 3
Agora vamos colocar pontos para ficar bem concreto. Seja
a origem,
o ponto extremo do vetor
(ou seja, o ponto cuja posição é
) e
o ponto extremo do vetor
(posição
). As posições são vetores de posição relativos a
:
- posição de
é , - posição de
é .
O vetor que vai de
para
(denotado
) é dado por subtrair a posição de
da posição de
:
Portanto, algebraicamente
é exatamente o vetor que vai da ponta de
até a ponta de
.
Passo 4
Descrevendo o paralelogramo: considere o paralelogramo com vértices
(origem),
(ponta de
),
(ponta de
) e
(ponta de
). As arestas são
,
,
,
. Os dois diagonais do paralelogramo são
- diagonal que liga
a : vetor , - diagonal que liga
a : vetor .
Note que
é a mesma reta/segmento que
mas com sentido oposto. Logo
é a diagonal do paralelogramo que liga os vértices correspondentes às pontas de
e
, orientada de
(ponta de
) para
(ponta de
).
Passo 5
Outra maneira de ver, que ajuda a desenhar rápido na prova: desenhe
e
a partir de
. Para construir
basta desenhar o segmento que vai da ponta de
até a ponta de
. Como vetores são livres, pode-se também desenhar
com a cauda em
; o ponto terminal será
(a mesma coordenada que se obtém por soma
).
Passo 6
Exemplo numérico curtinho para fixar (sem calculadora complicada): tome
e
. Então
Geometricamente isso é o vetor que vai do ponto
(ponta de
) até
(ponta de
). Se desenhar o paralelogramo com vértices
, a diagonal entre
e
é exatamente
.
Passo 7
Comentário útil sobre comprimento do diagonal (fórmula e interpretação): o comprimento de
satisfaz a identidade (lei do paralelogramo)
onde
é o produto escalar e mede a interação angular entre os vetores. Isso mostra que a medida da diagonal que liga as pontas depende não só dos tamanhos de
e
mas também do ângulo entre eles.
Passo 8
Dica prática para a prova (calma, dá pra fazer): ao ver
, pense imediatamente em “vetor do ponta de
até a ponta de
”. Desenhe
e
a partir da origem e trace esse segmento — é a resposta geométrica. Isso funciona sempre e é rápido para justificar graficamente.
Resposta
O vetor
é o vetor que vai da ponta de
até a ponta de
; geometricamente é a diagonal do paralelogramo formado por
e
que liga os vértices correspondentes às pontas, orientada de
para
.