Dados dois vetores \vec{u} e \vec{v} que partem da mesma origem, qual é a interpretação geométrica do vetor diferença \vec{u}-\vec{v} em relação ao paralelogramo formado por eles?

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • Foram fornecidos dois vetores \vec{u} e \vec{v} que partem da mesma origem.
  • Pergunta-se qual é a interpretação geométrica do vetor diferença \vec{u}-\vec{v} em relação ao paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Primeiro conceito básico: subtração de vetores. A definição operacional é
\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v}).
Aqui -\vec{v} é o vetor que tem a mesma magnitude que \vec{v} mas sentido oposto. Geometricamente isso significa que \vec{u}-\vec{v} é o resultado da soma de \vec{u} com um vetor de mesmo tamanho de \vec{v} apontando para o lado contrário.

Passo 3

Agora vamos colocar pontos para ficar bem concreto. Seja O a origem, A o ponto extremo do vetor \vec{u} (ou seja, o ponto cuja posição é \vec{u}) e B o ponto extremo do vetor \vec{v} (posição \vec{v}). As posições são vetores de posição relativos a O:
  • posição de A é \vec{OA}=\vec{u},
  • posição de B é \vec{OB}=\vec{v}.
O vetor que vai de B para A (denotado \vec{BA}) é dado por subtrair a posição de B da posição de A:
\vec{BA}=\vec{OA}-\vec{OB}=\vec{u}-\vec{v}.
Portanto, algebraicamente \vec{u}-\vec{v} é exatamente o vetor que vai da ponta de \vec{v} até a ponta de \vec{u}.

Passo 4

Descrevendo o paralelogramo: considere o paralelogramo com vértices O (origem), A (ponta de \vec{u}), C (ponta de \vec{u}+\vec{v}) e B (ponta de \vec{v}). As arestas são O\!A=\vec{u}, O\!B=\vec{v}, A\!C=\vec{v}, B\!C=\vec{u}. Os dois diagonais do paralelogramo são
  • diagonal que liga O a C: vetor \vec{OC}=\vec{u}+\vec{v},
  • diagonal que liga A a B: vetor \vec{AB}=\vec{v}-\vec{u}.
Note que \vec{BA}=\vec{u}-\vec{v} é a mesma reta/segmento que \vec{AB} mas com sentido oposto. Logo \vec{u}-\vec{v} é a diagonal do paralelogramo que liga os vértices correspondentes às pontas de \vec{v} e \vec{u}, orientada de B (ponta de \vec{v}) para A (ponta de \vec{u}).

Passo 5

Outra maneira de ver, que ajuda a desenhar rápido na prova: desenhe \vec{u} e \vec{v} a partir de O. Para construir \vec{u}-\vec{v} basta desenhar o segmento que vai da ponta de \vec{v} até a ponta de \vec{u}. Como vetores são livres, pode-se também desenhar \vec{u}-\vec{v} com a cauda em O; o ponto terminal será \vec{u}-\vec{v} (a mesma coordenada que se obtém por soma \vec{u}+(-\vec{v})).

Passo 6

Exemplo numérico curtinho para fixar (sem calculadora complicada): tome \vec{u}=(3,1) e \vec{v}=(1,2). Então
\vec{u}-\vec{v}=(3,1)-(1,2)=(2,-1).
Geometricamente isso é o vetor que vai do ponto (1,2) (ponta de \vec{v}) até (3,1) (ponta de \vec{u}). Se desenhar o paralelogramo com vértices O,(3,1),(4,3),(1,2), a diagonal entre (1,2) e (3,1) é exatamente (2,-1).

Passo 7

Comentário útil sobre comprimento do diagonal (fórmula e interpretação): o comprimento de \vec{u}-\vec{v} satisfaz a identidade (lei do paralelogramo)
\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v},
onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar e mede a interação angular entre os vetores. Isso mostra que a medida da diagonal que liga as pontas depende não só dos tamanhos de \vec{u} e \vec{v} mas também do ângulo entre eles.

Passo 8

Dica prática para a prova (calma, dá pra fazer): ao ver \vec{u}-\vec{v}, pense imediatamente em “vetor do ponta de \vec{v} até a ponta de \vec{u}”. Desenhe \vec{u} e \vec{v} a partir da origem e trace esse segmento — é a resposta geométrica. Isso funciona sempre e é rápido para justificar graficamente.

Resposta

O vetor \vec{u}-\vec{v} é o vetor que vai da ponta de \vec{v} até a ponta de \vec{u}; geometricamente é a diagonal do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v} que liga os vértices correspondentes às pontas, orientada de \vec{v} para \vec{u}.

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