Em um paralelogramo A B C D, definimos os vetores para os lados adjacentes como \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A D}. Escreva as expressões vetoriais que representam, respectivamente, as diagonais orientadas \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{B D}.
Passo 1
O enunciado nos dá um paralelogramo A B C D e define dois vetores associados aos lados adjacentes:
\vec{u}=\overrightarrow{A B},
\vec{v}=\overrightarrow{A D}.
O que é pedido: escrever, em termos de \vec{u} e \vec{v}, as expressões vetoriais para as diagonais orientadas
\overrightarrow{A C} e
\overrightarrow{B D}.
Passo 2
Lembração de regras básicas de vetores (vão ser usadas sem complicação):
Regra do polígono / soma de vetores: se se vai de um ponto P a Q e de Q a R, então \overrightarrow{P R}=\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q R}.
Propriedade do paralelogramo: lados opostos são paralelos e de mesma magnitude, logo os vetores correspondentes são iguais em direção e sentido; por exemplo \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D} e \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A B}.
Passo 3
Vamos obter \overrightarrow{A C}. Uma forma natural de ir de A a C é passar por B. Aplicando a regra do polígono:
Logo a diagonal \overrightarrow{B D} é \vec{v}-\vec{u}.
Passo 5
Cheque rápido e interpretação geométrica (para fixar): se, por exemplo, \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1) (vetores em coordenadas), então \overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v}=(1,1) e \overrightarrow{B D}=\vec{v}-\vec{u}=(-1,1). Além disso, as diagonais se cruzam no ponto médio: \tfrac{1}{2}\overrightarrow{A C}=\tfrac{1}{2}(\vec{u}+\vec{v}) e \tfrac{1}{2}\overrightarrow{B D}=\tfrac{1}{2}(\vec{v}-\vec{u}), que são consistentes com a propriedade conhecida do paralelogramo.