Em um paralelogramo A B C D, definimos os vetores para os lados adjacentes como \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A D}. Escreva as expressões vetoriais que representam, respectivamente, as diagonais orientadas \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{B D}.

Passo 1

O enunciado nos dá um paralelogramo A B C D e define dois vetores associados aos lados adjacentes:
  • \vec{u}=\overrightarrow{A B},
  • \vec{v}=\overrightarrow{A D}.
O que é pedido: escrever, em termos de \vec{u} e \vec{v}, as expressões vetoriais para as diagonais orientadas
  • \overrightarrow{A C} e
  • \overrightarrow{B D}.

Passo 2

Lembração de regras básicas de vetores (vão ser usadas sem complicação):
  • Regra do polígono / soma de vetores: se se vai de um ponto P a Q e de Q a R, então \overrightarrow{P R}=\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q R}.
  • Vetor oposto: \overrightarrow{B A}=-\overrightarrow{A B}.
  • Propriedade do paralelogramo: lados opostos são paralelos e de mesma magnitude, logo os vetores correspondentes são iguais em direção e sentido; por exemplo \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D} e \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A B}.

Passo 3

Vamos obter \overrightarrow{A C}. Uma forma natural de ir de A a C é passar por B. Aplicando a regra do polígono:
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}.
Agora uso a propriedade do paralelogramo: \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}=\vec{v}. Substituindo:
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\vec{u}+\vec{v}.
Portanto a diagonal \overrightarrow{A C} é \vec{u}+\vec{v}.

Passo 4

Agora \overrightarrow{B D}. Posso ir de B a D passando por A:
\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}.
Usando \overrightarrow{B A}=-\overrightarrow{A B}=-\vec{u} e \overrightarrow{A D}=\vec{v}, obtemos
\overrightarrow{B D}=-\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}-\vec{u}.
Logo a diagonal \overrightarrow{B D} é \vec{v}-\vec{u}.

Passo 5

Cheque rápido e interpretação geométrica (para fixar): se, por exemplo, \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1) (vetores em coordenadas), então \overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v}=(1,1) e \overrightarrow{B D}=\vec{v}-\vec{u}=(-1,1). Além disso, as diagonais se cruzam no ponto médio: \tfrac{1}{2}\overrightarrow{A C}=\tfrac{1}{2}(\vec{u}+\vec{v}) e \tfrac{1}{2}\overrightarrow{B D}=\tfrac{1}{2}(\vec{v}-\vec{u}), que são consistentes com a propriedade conhecida do paralelogramo.

Resposta

\overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v}
\overrightarrow{B D}=\vec{v}-\vec{u}

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