Dados os elementos e y=(rr0 & 1 -1 & -1) pertencentes ao grupo multiplicativo M2 times 2(Q). Calcule O(x), O(y) e O(x y).
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos as matrizes
x = 0 & -1 1 & 0, y = 0 & 1 -1 & -1
no grupo multiplicativo GL2(Q). Precisamos achar as ordens O(x), O(y) e O(xy), ou seja, o menor inteiro positivo n tal que cada potência seja a identidade I.
Passo 2
Para x notamos que
x^2 = -1 & 0 0 & -1 = -I,
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x^4 = (x^2)^2 = (-I)^2 = I
Como x^2 neq I mas x^4 = I, a menor potência que dá a identidade é 4. Portanto