Dados os elementos x=(rr0 & -1 1 & 0) e y=(rr0 & 1 -1 & -1) pertencentes ao grupo multiplicativo M2 times 2(Q). Calcule O(x), O(y) e O(x y).

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos as matrizes
x = 0 & -1 1 & 0, y = 0 & 1 -1 & -1
no grupo multiplicativo GL2(Q). Precisamos achar as ordens O(x), O(y) e O(xy), ou seja, o menor inteiro positivo n tal que cada potência seja a identidade I.

Passo 2

Para x notamos que
x^2 = -1 & 0 0 & -1 = -I,
logo
x^4 = (x^2)^2 = (-I)^2 = I
Como x^2 neq I mas x^4 = I, a menor potência que dá a identidade é 4. Portanto
O(x) = 4

Passo 3

Em y calculamos primeiro traço e determinante:
tr(y)=0+(-1)=-1, det(y)=0cdot(-1)-1cdot(-1)=1
O polinômio característico de y é
lambda^2 - (tr,y),lambda + det(y) = lambda^2 + lambda + 1
Da relação y^2 + y + I = 0 segue que
y^3 = I
e nem y nem y^2 valem I. Logo
O(y) = 3

Passo 4

Finalmente,
xy = 0 & -1 1 & 0 0 & 1 -1 & -1 = 1 & 1 0 & 1
Essa matriz satisfaz
(xy)^n = 1 & n 0 & 1,
que só é I para n=0. Não existe n>0 com (xy)^n=I, ou seja, a ordem é infinita:
O(xy) = infty

Resposta

O(x)=4 O(y)=3 O(xy)=infty

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