Determine todas as classes laterais de:
H=0, 3, 6, 9 no grupo aditivo Z12.

Passo 1

O enunciado trabalha com o grupo aditivo Z12=0,1,dots,11 e o subgrupo
H=0,3,6,9
Pede-se determinar todas as classes laterais (cosets) de H em Z12.

Passo 2

Em um grupo aditivo G, para um subgrupo Hsubseteq G e um elemento ain G, a classe lateral de H por a é
a+H = ,a+h mid hin H
O número de classes laterais é o índice [G : H] = |G|/|H|.

Passo 3

Aqui |Z12|=12 e |H|=4, logo [,Z12:H,]=12/4=3. Precisamos, portanto, de três representantes distintos em Z12. Podemos escolher
0,1,2, pois qualquer outro coset cairá em uma dessas classes.

Passo 4

Calculemos as três classes:
0+H, 1+H e 2+H.
0+H = 0,3,6,9 = H,
1+H = 1+0,1+3,1+6,1+9 = 1,4,7,10,
2+H = 2+0,2+3,2+6,2+9 = 2,5,8,11

Resposta

As classes laterais de H em Z12 são:
0,3,6,9, 1,4,7,10, 2,5,8,11

Exercícios relacionados