Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
lang<= frang<= em(S3, circ), onde f=(lll1 & 2 & 3 3 & 1 & 2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o subgrupo cíclico lang<= frang<= no grupo (S3,circ) gerado pela permutação f dada por
f = 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2
Aqui vamos usar noções de permutação em notação de ciclo e de ordem de um elemento em um grupo.

Passo 2

Para passar f à notação de ciclo, observamos onde cada elemento vai:
f(1)=3, f(3)=2, f(2)=1
Logo em notação cíclica
f = (1,3,2)

Passo 3

Agora calculamos as potências de f. Como é um 3-ciclo, temos
f^2 = (1,3,2)circ(1,3,2) = (1,2,3),
e
f^3 = (1,3,2)circ(1,2,3) = e,
onde e é a permutação identidade. Isso mostra que a ordem de f é 3.

Passo 4

O subgrupo cíclico gerado por f é justamente
lang<= frang<= = ,e,;f,;f^2 = id,,(1,3,2),,(1,2,3)

Resposta

lang<= frang<= = id,,(1,3,2),,(1,2,3)

Exercícios relacionados