Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
lang<=3rang<= em(Z5^*, cdot).

Passo 1

O enunciado pede o subgrupo cíclico gerado por 3 em l(Z5^*,cdotr).
Aqui Z5^*=1,2,3,4 é o grupo multiplicativo dos invertíveis em módulo 5, de ordem 4. Para descrever lang<=3rang<= vamos calcular as potências de 3 até retornar ao elemento neutro 1.

Passo 2

Calculemos as potências de 3 em Z5:
3^1equiv 3pmod5,
3^2 = 9 equiv 4pmod5,
3^3 = 3^2cdot3 equiv 4cdot3 = 12 equiv 2pmod5,
3^4 = 3^3cdot3 equiv 2cdot3 = 6 equiv 1pmod5

Passo 3

Como 3^4equiv1, as potências repetem a partir desse ponto. Portanto o subgrupo gerado por 3 é
lang<=3rang<= = 3,,4,,2,,1
Reordenando de modo crescente, notamos que este é todo o grupo Z5^*.

Resposta

lang<=3rang<= = 1,,2,,3,,4 = Z5^*

Exercícios relacionados