Seja
um elemento do grupo
. Prove que
se, e somente se,
. Mostre, ainda, que se todo elemento de
possuir a propriedade supracitada, então
é abeliano.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em um grupo
e para um elemento
, que
onde
é a ordem de
. Em seguida, devemos usar essa propriedade para provar que se todo elemento de
satisfaz
, então
é abeliano. Vamos usar a definição de ordem de elemento e as propriedades de inverso em grupo.
Passo 2
Suponha
. Por definição de ordem, isso significa que
é o menor inteiro positivo tal que
Mas então multiplicando ambos os lados por
(que existe em todo grupo), obtemos
Logo,
implica
.
Passo 3
Agora suponha
. Então
Como
, o menor
com
não pode ser
; portanto é
. Assim
. Isto conclui a equivalência desejada.
Passo 4
Suponha que todo elemento
de
satisfaça
. Queremos mostrar que
para quaisquer
. Note que, pela hipótese, o elemento
também é seu próprio inverso, então
Mas, em qualquer grupo,
. Pela hipótese sobre
e
, temos
e
. Logo
Isto vale para quaisquer
, de modo que
é abeliano.
Resposta
Da primeira parte, mostramos que
se, e somente se,
.
Da segunda parte, concluímos que se todo elemento de satisfaz
, então
é abeliano.
Da segunda parte, concluímos que se todo elemento de