Seja a neq e um elemento do grupo G. Prove que O(a)=2 se, e somente se, a=a^-1. Mostre, ainda, que se todo elemento de G possuir a propriedade supracitada, então G é abeliano.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em um grupo G e para um elemento aneq e, que
O(a)=2iff a=a^-1,
onde O(a) é a ordem de a. Em seguida, devemos usar essa propriedade para provar que se todo elemento de G satisfaz x=x^-1, então G é abeliano. Vamos usar a definição de ordem de elemento e as propriedades de inverso em grupo.

Passo 2

Suponha O(a)=2. Por definição de ordem, isso significa que 2 é o menor inteiro positivo tal que
a^2 = e
Mas então multiplicando ambos os lados por a^-1 (que existe em todo grupo), obtemos
a^2,a^-1=e,a^-1 Longrightarrow a = a^-1
Logo, O(a)=2 implica a=a^-1.

Passo 3

Agora suponha a=a^-1. Então
a^2 = a,a = a,a^-1 = e
Como aneq e, o menor n>0 com a^n=e não pode ser 1; portanto é 2. Assim O(a)=2. Isto conclui a equivalência desejada.

Passo 4

Suponha que todo elemento x de G satisfaça x=x^-1. Queremos mostrar que ab=ba para quaisquer a,bin G. Note que, pela hipótese, o elemento ab também é seu próprio inverso, então
(ab)^-1 = ab
Mas, em qualquer grupo, (ab)^-1=b^-1a^-1. Pela hipótese sobre a e b, temos a^-1=a e b^-1=b. Logo
ab = (ab)^-1 = b^-1a^-1 = b,a
Isto vale para quaisquer a,bin G, de modo que G é abeliano.

Resposta

Da primeira parte, mostramos que O(a)=2 se, e somente se, a=a^-1.
Da segunda parte, concluímos que se todo elemento de G satisfaz x=x^-1, então G é abeliano.

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