Dados um espaço métrico M e A \subset M. Definimos a fronteira de A, \operatorname{Fr}(A)= \bar{A} \cap \overline{A^{c}}.
Determine a fronteira dos conjuntos \left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\} em \mathbb{R}, e \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} em \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado dá a definição da fronteira de um conjunto A num espaço métrico M:
Determinar a fronteira do conjunto \left\{\left.\frac{1}{n}\right\rvert\, n\in\mathbb{N}\right\} visto como subconjunto de \mathbb{R}. Vou chamar esse conjunto de S, isto é S=\left\{\left.\frac{1}{n}\right\rvert\, n\in\mathbb{N}\right\}.
Determinar a fronteira do conjunto \mathbb{Z}\times\mathbb{Q} visto como subconjunto de \mathbb{R}^2. Vou chamar esse conjunto de T, isto é T=\mathbb{Z}\times\mathbb{Q}.
Informações relevantes dadas (diretas do enunciado):
A definição de fronteira é a interseção das adesões (fechamentos) de A e de A^{c}.
Trabalhamos em \mathbb{R} com a métrica usual no primeiro item e em \mathbb{R}^2 com a métrica usual no segundo item.
Passo 2
Vou começar pelo conjunto S=\left\{\left.\frac{1}{n}\right\rvert\, n\in\mathbb{N}\right\}\subset\mathbb{R}. Primeiro quero achar a adesão \overline{S}, isto é, todos os pontos que são ou pontos de S ou pontos-limite (acumulação) de S.
Explicação do conceito usado: um ponto x\in\mathbb{R} pertence à adesão de S se toda vizinhança aberta de x contém pelo menos um ponto de S. Em particular, se existe uma sequência de pontos de S que converge para x, então x\in\overline{S}.
Observação óbvia: a sequência \left(\frac{1}{n}\right)_{n\ge1} converge para 0. Logo 0 é um ponto de acumulação de S e, portanto, 0\in\overline{S}. Assim já temos S\cup\{0\}\subseteq\overline{S}.
Passo 3
Agora mostro que não há outros pontos na adesão além de S e 0. Ou seja, se a\in\mathbb{R} e a\neq 0 e a\notin S, então existe uma vizinhança de a que não intersecta S.
Divido em dois casos:
Caso A: a<0. Como todos os 1/n>0, qualquer intervalo centrado em a<0 suficientemente pequeno não encontra nenhum 1/n. Então a\notin\overline{S}.
Caso B: a>0 e a\notin S. Aqui uso que a sequência 1/n é estritamente decrescente para n grande e tende a 0. Escolho N tal que \frac{1}{N}<\frac{a}{2} (isso é possível porque 1/n\to0). Para todos n\ge N temos \frac{1}{n}<\frac{a}{2}, então
\left|\,\frac{1}{n}-a\,\right| \ge a - \frac{1}{n} > a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}.
Para os finitamente muitos n<N a quantidade \min_{1\le n< N}\left|\,\frac{1}{n}-a\,\right| é um número positivo (mínimo de um conjunto finito de positivos). Logo existe \varepsilon>0 tal que (a-\varepsilon,a+\varepsilon) não contém nenhum \frac{1}{n}. Assim a\notin\overline{S}.
Concluo que
\overline{S}=S\cup\{0\}.
Passo 4
Agora encontro \overline{S^{c}}, a adesão do complementar de S. Aqui uso um fato simples: S é um conjunto enumerável (contável), enquanto qualquer intervalo aberto em \mathbb{R} contém infinitos (na verdade continuum de) pontos que não pertencem a S. Assim toda vizinhança aberta em \mathbb{R} contém pontos de S^{c}. Em outras palavras, S^{c} é denso em \mathbb{R}, logo
\overline{S^{c}}=\mathbb{R}.
Explicando com mais calma: dado x\in\mathbb{R} e \varepsilon>0, o intervalo (x-\varepsilon,x+\varepsilon) tem infinitos pontos; como S é contável, não coincide com o intervalo, portanto existem pontos em (x-\varepsilon,x+\varepsilon) que estão em S^{c}. Portanto x é ponto de aderência de S^{c}.
Passo 5
Com \overline{S}=S\cup\{0\} e \overline{S^{c}}=\mathbb{R} temos, pela definição da fronteira,
Posso dar uma interpretação alternativa útil para prova rápida em prova de prova: a interior de S é vazio (pois nenhum ponto de S tem um intervalo inteiro contido em S), então \operatorname{Fr}(S)=\overline{S}\setminus\operatorname{int}(S)=\overline{S}.
Passo 6
Agora passo ao conjunto T=\mathbb{Z}\times\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}^2. Quero achar \overline{T} e \overline{T^{c}}.
Primeiro, para cada m\in\mathbb{Z} considere a “reta vertical” \{m\}\times\mathbb{R}. Dentro dela temos \{m\}\times\mathbb{Q}\subset T. Como \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}, a aderência de \{m\}\times\mathbb{Q} dentro da reta \{m\}\times\mathbb{R} é exatamente \{m\}\times\mathbb{R}. Ou seja, todo ponto (m,y) com y\in\mathbb{R} é limite de pontos de T com primeira coordenada m. Logo
Agora mostro que pontos cuja primeira coordenada não é inteiro não pertencem à \overline{T}. Seja x_0\in\mathbb{R} com x_0\notin\mathbb{Z}. Então d=\operatorname{dist}(x_0,\mathbb{Z})>0. Escolha \varepsilon=\frac{d}{2}. O retângulo (ou bola) centrado em (x_0,y_0) de raio \varepsilon tem todas as primeiras coordenadas num intervalo que não contém inteiros, logo não pode conter pontos de T (pois em T a primeira coordenada é sempre inteira). Assim (x_0,y_0)\notin\overline{T} para qualquer y_0. Portanto não há pontos de adesão fora de \mathbb{Z}\times\mathbb{R}.
Combinando com o passo anterior:
\overline{T}=\mathbb{Z}\times\mathbb{R}.
Passo 8
Agora considero \overline{T^{c}}, a adesão do complementar de T. Quero ver se o complementar é denso em \mathbb{R}^2. Tome um ponto arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2 e uma bola aberta B ao seu redor de raio \varepsilon>0. Tenho que mostrar que B contém algum ponto que não está em T.
Se x\notin\mathbb{Z}, então (x,y) já não está em T e a própria bola contém pontos com primeira coordenada não inteira, portanto pontos do complementar.
Se x\in\mathbb{Z} mas y\notin\mathbb{Q} (isto é, y irracional), então (x,y)\notin T e a bola contém pontos do complementar.
Se x\in\mathbb{Z} e y\in\mathbb{Q} (ponto que está em T), ainda assim qualquer bola centrada em (x,y) contém pontos com primeira coordenada x+\delta para pequenos \delta\neq 0, e tais pontos têm primeira coordenada não inteira, então pertencem ao complementar. Logo a bola intersecta T^{c}.
Portanto qualquer bola aberta tem interseção com T^{c}, isto é, T^{c} é denso em \mathbb{R}^2 e
Intuitivamente: cada reta vertical na abscissa inteira é totalmente formada por pontos de acumulação de T (pois há racionais arbitrariamente próximos na ordenada) e também cada tal reta encontra pontos do complementar arbitrariamente perto (basta deslocar-se um pouco na abscissa). Assim toda reta \{m\}\times\mathbb{R} é fronteira, e não há outras fronteiras fora dessas retas.