Métodos da variação dos parâmetros y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=\sin x
Resp.: y=C_{1}+C_{2} e^{-x}+C_{3} e^{x}+\frac{1}{2} \cos x
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=\sin x.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (solução complementar + uma solução particular). Informações dadas: equação linear de ordem 3 com coeficientes constantes e termo não-homogêneo f(x)=\sin x. Não há outras informações externas.
Passo 2
Primeiro passo técnico: achar a solução geral da equação homogênea associada
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=0.
Para isso montamos o polinômio característico substituindo y^{(k)} por r^k:
r^{3}-r=0.
Fatorando,
r(r^2-1)=r(r-1)(r+1)=0.
Portanto as raízes são r=0,\;r=1,\;r=-1. Cada raiz gera uma solução fundamental: para r=0 a solução é constante 1; para r=1 é e^{x}; para r=-1 é e^{-x}. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{-x}.
Passo 3
Agora aplicamos o método da variação das constantes (variação de parâmetros) para obter uma solução particular y_p\). A ideia: substituir as constantes \(C_i\) por funções \(u_i(x)\) e procurar
\[y_p(x)=u_{1}(x)\cdot 1 + u_{2}(x)e^{x} + u_{3}(x)e^{-x}.
Para determinar u_i impomos as condições padrão de variação de parâmetros (para ordem 3):
Explicação rápida do porquê dessas condições: queremos que, ao derivar y_p\] e usar que \(1,e^{x},e^{-x} satisfazem a homogênea, as derivadas de u_i apareçam de forma que o único termo restante seja o termo não-homogêneo \sin x. Estas três equações formam um sistema linear para u_1',u_2',u_3'.]
Passo 4
Calcular explicitamente as equações com as derivadas das soluções fundamentais:
y_1=1,\;y_1'=0,\;y_1''=0.
y_2=e^{x},\;y_2'=e^{x},\;y_2''=e^{x}.
y_3=e^{-x},\;y_3'=-e^{-x},\;y_3''=e^{-x}.
Usando essas em variação de parâmetros obtemos o sistema (repetindo de forma clara):
Integrar u_{1}',u_{2}',u_{3}' para obter u_{1},u_{2},u_{3}. Observação importante (didática): as constantes de integração que surgirem podem ser incorporadas nas constantes C_{1},C_{2},C_{3} da solução homogênea, então podemos tomar antiderivadas particulares (i.e., sem constantes) para construir uma solução particular.
Observação final e motivacional: deu trabalho, mas o passo-chave foi montar o sistema para u_i' (as três condições) e resolver algebraicamente; as integrais que aparecem são tratáveis por partes ou por fórmula padrão para \int e^{ax}\sin(bx)\,dx. Boa: você já consegue reproduzir isso na prova com calma!