Métodos da variação dos parâmetros
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=\sin x
Resp.: y=C_{1}+C_{2} e^{-x}+C_{3} e^{x}+\frac{1}{2} \cos x

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=\sin x.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (solução complementar + uma solução particular). Informações dadas: equação linear de ordem 3 com coeficientes constantes e termo não-homogêneo f(x)=\sin x. Não há outras informações externas.

Passo 2

Primeiro passo técnico: achar a solução geral da equação homogênea associada
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=0.
Para isso montamos o polinômio característico substituindo y^{(k)} por r^k:
r^{3}-r=0.
Fatorando,
r(r^2-1)=r(r-1)(r+1)=0.
Portanto as raízes são r=0,\;r=1,\;r=-1. Cada raiz gera uma solução fundamental: para r=0 a solução é constante 1; para r=1 é e^{x}; para r=-1 é e^{-x}. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{-x}.

Passo 3

Agora aplicamos o método da variação das constantes (variação de parâmetros) para obter uma solução particular y_p\). A ideia: substituir as constantes \(C_i\) por funções \(u_i(x)\) e procurar \[y_p(x)=u_{1}(x)\cdot 1 + u_{2}(x)e^{x} + u_{3}(x)e^{-x}.
Para determinar u_i impomos as condições padrão de variação de parâmetros (para ordem 3):
\begin{cases} u_{1}'(x)\cdot 1 + u_{2}'(x)e^{x} + u_{3}'(x)e^{-x} = 0,\\[4pt] u_{1}'(x)\cdot 0 + u_{2}'(x)e^{x} + u_{3}'(x)(-e^{-x}) = 0,\\[4pt] u_{1}'(x)\cdot 0 + u_{2}'(x)e^{x} + u_{3}'(x)e^{-x} = \sin x. \end{cases}
Explicação rápida do porquê dessas condições: queremos que, ao derivar y_p\] e usar que \(1,e^{x},e^{-x} satisfazem a homogênea, as derivadas de u_i apareçam de forma que o único termo restante seja o termo não-homogêneo \sin x. Estas três equações formam um sistema linear para u_1',u_2',u_3'.]

Passo 4

Calcular explicitamente as equações com as derivadas das soluções fundamentais:
  • y_1=1,\;y_1'=0,\;y_1''=0.
  • y_2=e^{x},\;y_2'=e^{x},\;y_2''=e^{x}.
  • y_3=e^{-x},\;y_3'=-e^{-x},\;y_3''=e^{-x}.
Usando essas em variação de parâmetros obtemos o sistema (repetindo de forma clara):
\begin{cases} u_{1}'+u_{2}'e^{x}+u_{3}'e^{-x}=0,\\[4pt] u_{2}'e^{x}-u_{3}'e^{-x}=0,\\[4pt] u_{2}'e^{x}+u_{3}'e^{-x}=\sin x. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para u_{1}',u_{2}',u_{3}'. Da segunda equação temos
u_{2}'e^{x}=u_{3}'e^{-x}\quad\Rightarrow\quad u_{3}'=u_{2}'e^{2x}.
Substituindo essa expressão na terceira equação:
u_{2}'e^{x}+u_{3}'e^{-x}=u_{2}'e^{x}+u_{2}'e^{2x}e^{-x}=u_{2}'e^{x}+u_{2}'e^{x}=2u_{2}'e^{x}=\sin x.
Logo
u_{2}'=\frac{\sin x}{2e^{x}}=\frac{1}{2}e^{-x}\sin x.
Então
u_{3}'=u_{2}'e^{2x}=\frac{1}{2}e^{x}\sin x.
Agora a primeira equação dá u_{1}':
u_{1}'=-u_{2}'e^{x}-u_{3}'e^{-x}.
Substituindo u_{2}' e u_{3}':
u_{1}'=-\frac{1}{2}e^{-x}\sin x\cdot e^{x}-\frac{1}{2}e^{x}\sin x\cdot e^{-x}=-\frac{1}{2}\sin x-\frac{1}{2}\sin x=-\sin x.

Passo 6

Integrar u_{1}',u_{2}',u_{3}' para obter u_{1},u_{2},u_{3}. Observação importante (didática): as constantes de integração que surgirem podem ser incorporadas nas constantes C_{1},C_{2},C_{3} da solução homogênea, então podemos tomar antiderivadas particulares (i.e., sem constantes) para construir uma solução particular.
Integrando:
u_{1}(x)=\int u_{1}'(x)\,dx=\int -\sin x\,dx=\cos x.
Agora \displaystyle u_{2}(x)=\int \frac{1}{2}e^{-x}\sin x\,dx. Fazemos essa integral passo a passo (método por partes duas vezes). Seja
I=\int e^{-x}\sin x\,dx.
Tomando a=-1 e b=1 na fórmula padrão ou usando partes, chega-se a
I=-\frac{e^{-x}}{2}(\sin x+\cos x).
Logo
u_{2}(x)=\frac{1}{2}I=-\frac{e^{-x}}{4}(\sin x+\cos x).
Para u_{3}:
u_{3}(x)=\int \frac{1}{2}e^{x}\sin x\,dx.
Análogo (ou usando a fórmula \int e^{ax}\sin(bx)\,dx) obtém-se
\int e^{x}\sin x\,dx=\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x),
portanto
u_{3}(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)=\frac{e^{x}}{4}(\sin x-\cos x).

Passo 7

Construir y_p a partir de y_p=u_{1}\cdot 1 + u_{2}e^{x}+u_{3}e^{-x}. Substituindo as expressões encontradas:
y_p=\cos x + \left(-\frac{e^{-x}}{4}(\sin x+\cos x)\right)e^{x} + \left(\frac{e^{x}}{4}(\sin x-\cos x)\right)e^{-x}.
Simplificando os fatores e^{\pm x}:
y_p=\cos x -\frac{1}{4}(\sin x+\cos x) + \frac{1}{4}(\sin x-\cos x).
Agrupando termos:
y_p=\cos x + \frac{-\sin x-\cos x+\sin x-\cos x}{4}=\cos x + \frac{-2\cos x}{4}=\cos x -\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{2}\cos x.
Portanto uma solução particular é \displaystyle y_p(x)=\frac{1}{2}\cos x.

Passo 8

Juntando solução homogênea e particular obtemos a solução geral:
y(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2} e^{x} + C_{3} e^{-x} + \frac{1}{2}\cos x.
Observação final e motivacional: deu trabalho, mas o passo-chave foi montar o sistema para u_i' (as três condições) e resolver algebraicamente; as integrais que aparecem são tratáveis por partes ou por fórmula padrão para \int e^{ax}\sin(bx)\,dx. Boa: você já consegue reproduzir isso na prova com calma!

Resposta

y=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}+\tfrac{1}{2}\cos x

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