Dados um espaço vetorial
, de dimensão finita, e
um operador linear tal que
, mostre que se
não é o operador identidade, então
não é inversível. Verifique que uma projeção ortogonal sobre uma reta de
é exemplo de uma tal função.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial finito
e um operador linear
tal que
Precisamos mostrar que, se
, então
não é inversível. Em seguida, apresentar um exemplo de projeção ortogonal em
que satisfaça
, não seja a identidade e não seja inversível.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja inversível. Então existe
com
Da identidade
temos
Aplicando
à direita, obtemos
Passo 3
Como chegamos a
sob a hipótese de invertibilidade, isso contradiz
. Portanto, se
e
, então
não pode ser inversível.
Passo 4
Considere agora a projeção ortogonal sobre o eixo
em
:
Verifique que
logo
. Como
, temos
. Além disso
ou seja,
é não trivial, logo
não é inversível.
Resposta
Se
e
, então
não é invertível, pois invertibilidade levaria a
. A projeção ortogonal
em
é um exemplo que satisfaz
, não é a identidade e não é inversível.