Dados um espaço vetorial U, de dimensão finita, e T: U U um operador linear tal que T^2=T, mostre que se T não é o operador identidade, então T não é inversível. Verifique que uma projeção ortogonal sobre uma reta de R^2 é exemplo de uma tal função.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial finito U e um operador linear T:Uto U tal que
T^2=T
Precisamos mostrar que, se Tneq I, então T não é inversível. Em seguida, apresentar um exemplo de projeção ortogonal em R^2 que satisfaça T^2=T, não seja a identidade e não seja inversível.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que T seja inversível. Então existe T^-1 com
T^-1T=Ie TT^-1=I
Da identidade T^2=T temos
Tcirc T = T
Aplicando circ T^-1 à direita, obtemos
Tcirc Tcirc T^-1=Tcirc T^-1 Longrightarrow Tcirc I = I Longrightarrow T = I

Passo 3

Como chegamos a T=I sob a hipótese de invertibilidade, isso contradiz Tneq I. Portanto, se T^2=T e Tneq I, então T não pode ser inversível.

Passo 4

Considere agora a projeção ortogonal sobre o eixo x em R^2:
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(x,0)
Verifique que
T^2(x,y)=Tl(T(x,y)r)=T(x,0)=(x,0)=T(x,y),
logo T^2=T. Como T(0,1)=(0,0)neq(0,1), temos Tneq I. Além disso
ker T=(0,y)mid yinRneq(0,0),
ou seja, ker T é não trivial, logo T não é inversível.

Resposta

Se T^2=T e Tneq I, então T não é invertível, pois invertibilidade levaria a T=I. A projeção ortogonal T(x,y)=(x,0) em R^2 é um exemplo que satisfaz T^2=T, não é a identidade e não é inversível.

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