Sejam T: R^3 P2(R) e G: P2(R) R^3 transformações lineares tais que
[T]B, C=(rrr 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 ) e [G]C, B=(rrr 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2 )
onde B e C são as bases B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=1,1+x, 1+x^2.
Determine a matriz de H=3(T circ G)+I dP2(R) com relação à base 1, x, x^2 de P2(R).

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares
Tcolon R^3toP2(R) e
Gcolon P2(R)toR^3
com
[T]B,C = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 , [G]C,B = 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2 ,
onde
B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) em R^3
e
C=1,;1+x,;1+x^2 em P2.
Queremos a matriz de
H = 3,(Tcirc G) + IdP2
na base canónica
1,x,x^2.
Para isso iremos:
  1. calcular [Tcirc G]C,C = [T]B,C,[G]C,B,
  2. obter [H]C = 3,[Tcirc G]C,C + I,
  3. construir a matriz de mudança de base
    P = [Id]1,x,x^2to C e seu inverso,
  4. montar
    [H]1,x,x^2 = P^-1,[H]C,P.

Passo 2

Calculamos a composição em C:
[Tcirc G]C,C =[T]B,C,[G]C,B = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2 = 4 & -2 & 0 2 & 0 & 0 1 & -1 & 0

Passo 3

Agora
[H]C =3,[Tcirc G]C,C ;+; I3 = 3 4 & -2 & 0 2 & 0 & 0 1 & -1 & 0 + 1&0&00&1&00&0&1 = 13 & -6 & 0 6 & 1 & 0 3 & -3 & 1

Passo 4

Definimos a base canónica S=1,x,x^2.
Para passar de S a C=1,1+x,1+x^2 montamos
Idcolon Sto C.
Expressões em C:
  1. 1 = 1cdot1 +0cdot(1+x)+0cdot(1+x^2).
  2. x = -1cdot1 +1cdot(1+x)+0cdot(1+x^2).
  3. x^2 = -1cdot1 +0cdot(1+x)+1cdot(1+x^2).
    Logo
P = [Id]Sto C = 1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Calculamos P^-1 resolvendo P,X=I.
O resultado é
P^-1 = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 6

Finalmente
[H]S = P^-1,[H]C,P
Primeiro [H]CP:
13 & -6 & 0 6 & 1 & 0 3 & -3 & 1 1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 13 & -19 & -13 6 & -5 & -6 3 & -6 & -2
Depois
[H]S = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 13 & -19 & -13 6 & -5 & -6 3 & -6 & -2 = 22 & -30 & -21 6 & -5 & -6 3 & -6 & -2

Resposta

A matriz de H na base 1,x,x^2 é
22 & -30 & -21 6 & -5 & -6 3 & -6 & -2

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