Sejam
e
transformações lineares tais que
onde
B e
C são as bases
B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e
C=1,1+x, 1+x^2 .
Determine a matriz de
H=3(T circ G)+I dP2(R) com relação à base
1, x, x^2 de
P2(R) .
Determine a matriz de
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares
Tcolon R^3toP2(R) e
Gcolon P2(R)toR^3
com
com
onde
B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) em
R^3
e
C=1,;1+x,;1+x^2 em
P2 .
Queremos a matriz de
e
Queremos a matriz de
na base canónica
1,x,x^2 .
Para isso iremos:
Para isso iremos:
- calcular
,[Tcirc G]C,C = [T]B,C,[G]C,B - obter
,[H]C = 3,[Tcirc G]C,C + I - construir a matriz de mudança de base
e seu inverso,P = [Id]1,x,x^2to C - montar
.[H]1,x,x^2 = P^-1,[H]C,P
Passo 2
Calculamos a composição em
C :
Passo 3
Agora
Passo 4
Definimos a base canónica
S=1,x,x^2 .
Para passar deS a
C=1,1+x,1+x^2 montamos
Idcolon Sto C .
Expressões emC :
Para passar de
Expressões em
-
.1 = 1cdot1 +0cdot(1+x)+0cdot(1+x^2) -
.x = -1cdot1 +1cdot(1+x)+0cdot(1+x^2) -
.x^2 = -1cdot1 +0cdot(1+x)+1cdot(1+x^2)
Logo
Passo 5
Calculamos
P^-1 resolvendo
P,X=I .
O resultado é
O resultado é
Passo 6
Finalmente
Primeiro
[H]CP :
Depois
Resposta
A matriz de
H na base
1,x,x^2 é