Sejam respectivamente a projeção ortogonal sobre a reta e a rotação de um ângulo de em torno da origem. Determine as fórmulas de e e verifique se .
Passo 1
O enunciado pede as expressões explícitas das transformações lineares (projeção ortogonal sobre a reta ) e (rotação de em torno da origem), e então verificar se
Para isso usaremos conceitos de projeção em subespaço unidimensional e de matriz de rotação no plano.
Passo 2
Para achar , note que a reta é gerada pelo vetor . A projeção de nesse subespaço é
Passo 3
A rotação de no sentido anti-horário tem matriz
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R(x,y)=(-y,;x)
Passo 4
Agora calculamos (Pcirc R)(x,y)=Pl(R(x,y)r)=P(-y,x). Usando a fórmula de P: