Sejam P, R: R^2 R^2 respectivamente a projeção ortogonal sobre a reta y=x e a rotação de um ângulo de 90^circ em torno da origem. Determine as fórmulas de P e R e verifique se P circ R=R circ P.

Passo 1

O enunciado pede as expressões explícitas das transformações lineares P (projeção ortogonal sobre a reta y=x) e R (rotação de 90^circ em torno da origem), e então verificar se
Pcirc R = Rcirc P
Para isso usaremos conceitos de projeção em subespaço unidimensional e de matriz de rotação no plano.

Passo 2

Para achar P, note que a reta y=x é gerada pelo vetor l(1,1r). A projeção de (x,y) nesse subespaço é
P(x,y)=llang<=(x,y),(1,1)rrang<=lang<=(1,1),(1,1)rang<=,(1,1) =x+y1^2+1^2,(1,1) =l(tfracx+y2,,tfracx+y2r)

Passo 3

A rotação de 90^circ no sentido anti-horário tem matriz
0 & -1 1 & 0 ,
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R(x,y)=(-y,;x)

Passo 4

Agora calculamos (Pcirc R)(x,y)=Pl(R(x,y)r)=P(-y,x). Usando a fórmula de P:
P(-y,x) =l(tfrac-y + x2,,tfrac-y + x2r) =l(tfracx-y2,,tfracx-y2r)

Passo 5

E (Rcirc P)(x,y)=Rl(P(x,y)r)=Rl(tfracx+y2,tfracx+y2r). Usando a fórmula de R:
Rl(tfracx+y2,tfracx+y2r) =l(-tfracx+y2,;tfracx+y2r)

Passo 6

Comparando
(Pcirc R)(x,y)=l(tfracx-y2,tfracx-y2r) e (Rcirc P)(x,y)=l(-tfracx+y2,tfracx+y2r),
vemos que não coincidem para todos (x,y). Portanto Pcirc Rneq Rcirc P.

Resposta

As fórmulas são
P(x,y)=l(tfracx+y2,tfracx+y2r), R(x,y)=(-y,x),
e P e R não comutam: Pcirc Rneq Rcirc P.

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