onde B e C são as bases B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=1,1+x, 1+x^2.
Determine bases para ker(G circ T) e Im(G circ T).
Passo 1
O enunciado fornece duas aplicações lineares Tcolon R^3to P2(R) e Gcolon P2(R)toR^3 cujas matrizes nas bases B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=1,,1+x,,1+x^2 são
Fazendo linha por coluna:
linha 1: (1,1,2)cdot(1,1,0)=(2),;(1,1,2)cdot(2,0,1)=(4),;(1,1,2)cdot(-1,-1,0)=(-2).
linha 2: (1,-1,0)cdot(1,1,0)=(0),;(1,-1,0)cdot(2,0,1)=(2),;(1,-1,0)cdot(-1,-1,0)=(0).
linha 3: ( -1,1,2)cdot cada coluna dá sempre 0.
Logo
M = 2 & 4 & -2 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0
Passo 3
Para resolvemos , i.e.
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira tem ou .
Portanto os vetores do núcleo são
Logo
Passo 4
Para observamos que a imagem de é o espaço gerado pelas colunas de . As colunas pivô são a primeira e a segunda:
Podemos simplificar a base dividindo: , .
Logo uma base mais simples é