Sejam T: R^3 P2(R) e G: P2(R) R^3 transformações lineares tais que
[T]B, C=(rrr 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 ) e [G]C, B=(rrr 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2 )
onde B e C são as bases B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=1,1+x, 1+x^2.
Determine bases para ker(G circ T) e Im(G circ T).

Passo 1

O enunciado fornece duas aplicações lineares
Tcolon R^3to P2(R) e
Gcolon P2(R)toR^3 cujas matrizes nas bases
B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=1,,1+x,,1+x^2 são
[T]B,C = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 , [G]C,B = 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2
Para achar ker(Gcirc T) e Im(Gcirc T), vamos primeiro obter a matriz de Gcirc T em B, ou seja
[Gcirc T]B,B ;=; [G]C,B,l[Tr]B,C

Passo 2

Calculemos o produto
M ;=; [G]C,B,[T]B,C = 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0
Fazendo linha por coluna:
linha 1: (1,1,2)cdot(1,1,0)=(2),;(1,1,2)cdot(2,0,1)=(4),;(1,1,2)cdot(-1,-1,0)=(-2).
linha 2: (1,-1,0)cdot(1,1,0)=(0),;(1,-1,0)cdot(2,0,1)=(2),;(1,-1,0)cdot(-1,-1,0)=(0).
linha 3: ( -1,1,2)cdot cada coluna dá sempre 0.
Logo
M = 2 & 4 & -2 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

Para resolvemos , i.e.
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira tem ou .
Portanto os vetores do núcleo são
Logo

Passo 4

Para observamos que a imagem de é o espaço gerado pelas colunas de . As colunas pivô são a primeira e a segunda:
Podemos simplificar a base dividindo:
,
.
Logo uma base mais simples é

Resposta

Uma base para ker(Gcirc T) é
(1,0,1),
e uma base para Im(Gcirc T) é
(1,0,0),,(2,1,0)

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